编程之美-2.4-1的数目

1. 简述

    给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有'1'的个数。例如：N=2,写下1,2.这样只出现了1个'1'，N=12，我们会写下1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，这样1的个数是5。

    两个问题：
    1. 写一个函数f(N)。返回1到N之间出现的'1'的个数，比如f(12)=5。
    2. 满足条件f(N)=N的最大的N是多少？  

2. 思路

    数论的题目没有兴趣，也没有思路，直接上书上和别人的思路了。第一个问题的思路是把分别计算第i位上1的个数（其中，i=1,2,...,N的最高位），假设N=A*10^i + B*10^(i-1) + C，即A，B和C分别代表第i位的高位数值，当前位数值和低位数值。第i位上1的个数与A，B，C可能都有关。
    当B > 1时，([0-A],1,*)<(A,B,C)，一共是(A+1)*10^i个1，高位相关。
    当B = 1时，([0-(A-1),1,*])<(A,B,C)，[A,1,[0-C]] <= (A,B,C)，一共是A*10^i+C+1个1，高位低位相关。
    当B = 0时，([0-(A-1)],1,*)<(A,B,C)，一共是A*10^i个1，高位相关。
    对于1的情况，可以推广到x的情况即（2-9），对于0的情况要特殊处理，具体见参考中的文章读《编程之美》有感—1的个数：数字x的个数。

    对于第二个题目，算了以后再仔细看了。

3. 代码

    给一个可以计算1-N的数中，包含x数字的个数，x取值为1-9，没有涉及x=0的情况。   

#include <iostream>
using namespace std;

int find_num(int N, int x) {
  int count = 0;
  int A,B,C,factor; // A:高位，B：当前位，C：低位 
  factor = 1;
  while(N >= factor) {
    A = N / (factor * 10); 
    B = N / factor % 10;
    C = N % factor; 
    cout << "(A,B,C): " << "(" << A << "," << B << "," << C << ")" << endl;   
    if(B > x)
      count += (A+1) * factor; // (0,x,*)-(A,x,*) 
    else if(B == x)
      count += A * factor + C + 1; // (0,x,*)-(A-1,x,*), (A,x,0)-(A,x,C)
    else // 
      count += A * factor;
    factor *= 10;
  }
  return count;
}

int main() {
  int N;
  while(true) {
    cout << "输入N：";
    cin >> N;
    int count = find_num(N, 1);
    cout << 1 << "到" << N << "中1的个数：";
    cout << count << endl;
    cout << endl; 
  } 
  system("PAUSE");
  return 0;
}

    输出结果为： 

   

4. 参考

    编程之美，2.4节，1的数目。
    读《编程之美》有感—1的个数：数字x的个数