编程之美-2.2-不要被阶乘吓倒

1. 简述

    1) 给定一个整数N，那么N的阶乘N!末尾有多少个0呢？例如：N=10，N!=3 628 800，N!的末尾有两个0。
    2) 求N!的二进制表示中最低位1的位置。 

2. 思路   

    方法一，求出N!，对于第一个题目，记录其0的个数即可，时间复杂度=O(N)+O(N!中0的个数)；对于第二个题目，记录二进制中最低位1右边0的个数即可，时间复杂度=O(N)+O(N!中最低位右边0的个数)。这个方法时间复杂度问题不大，不过空间有问题，因为N!增长太快了，N不用很大，N!很容易就溢出了。

    方法二，不求N!，从N!的因子入手，第一个题目是计算N!中，因子5的个数，因为每个0都是一个10，10=2*5，因子2明显远远超过5，因此10的个数（也就是0的个数）与5的个数是相同的；第二个题目是计算N!中因子2的个数，因子2的个数就是二进制表示中，最低位1后面0的个数，即如果N!有k个因子2，那么最低位1后面就是k个0。

    这样两个题目就转化为求N!中，因子C的个数。可以对N!，从1,2,...,N一个一个数字求因子C的个数，然后求和。这里还是给编程之美上提到的一个方法，更快一些。因子数=[N/C] + [N/(C^2)] + [N/(C^3)] + ···，复杂度嘛，最后比如存在C^k > N，因此也就是k，即“以C为底N的对数”，更重要是不用算N!，不会溢出。补充说明：[N/C]中的[]这里表示向下取整。

3. 代码

#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;

int get_factor_num(int N, int C) {
  int num = 0;
  while( (N/=C) != 0)
    num += N;
  return num;
}

int get_factorial(int N) {
  int num = 1;
  while(N > 0)
    num *= N--;
  return num;
}

int main() {
  int N;
  cout << "输入N："; 
  cin >> N;
  cout << "N!的十进制表示：" << get_factorial(N) << endl;
  bitset<32> NSet(get_factorial(N));
  cout << "N!的二进制表示：" << NSet << endl;
  cout << "N!末尾0的个数："  << get_factor_num(N, 5) << endl;
  cout << "N!的二进制表示中最低位1的位置：" << get_factor_num(N, 2) + 1 << endl; 
  system("PAUSE");
  return 0;
}

    输出结果为：

   

4. 参考

    编程之美，2.2节，不要被阶乘吓到