编程之美-3.7-队列中取最大值操作问题

1. 简述

    假设有这样一个拥有3个操作的队列：
    1. EnQueue(v)：将v加入队列中
    2. DeQueue：使队列中的对首元素删除并返回此元素
    3. MaxElement：返回队列中的最大元素
    请设计一个数据结构和算法，让MaxElement操作的时间复杂度尽可能的低。

2. 思路

    起初没仔细看，还以为与此前的自定义栈-pop-push-min-时间复杂度都为O(1) 是一样的，后来才发现不是一回事，有差别的。对于栈来说，我们可以的入栈和出栈不会影响辅助数组内的情况，假设当前N个元素，（为了说明简单，下标从1开始），辅助空间的F[1]记录的是A[1,1]内的最值位置，F[2]记录的是A[1,2]内的最值位置，···，F[N]记录的是A[1,N]内的最值位置。在插入F[k+1]=A[F[k]]与A[k+1]两者最值的位置，插入复杂度为O(1)，在删除第k+1个节点时，删除A[k+1]和F[k+1]，这并不影响F[1]-F[k]，因此删除的复杂度为O(1)，取最值，假设当前N个元素，即返回A[F[N]]。
    对于队列来说，如果套用栈的辅助数组方法，假设当前有N个元素，下标从1开始，那么F[1]记录的是A[1,N]中的最值，F[2]记录的是A[2,N]中的最值，···，F[N]记录的是A[N,N]中的最值。当A[k+1]入队时，需要更新F[1]到F[k]，F[K+1]=K+1，因此插入的复杂度为O(N)，当F[k]出队时，删除F[k]即可（每次出队的都是第一个元素，实际上此时F[1]-F[k-1]已经出队完毕了），因此删除的复杂度为O(1)。取最值的复杂度是O(1)。
    队列与栈的区别很清楚了。编程之美上给了两个答案，一个是构建最大堆，另一个是用两个栈来实现。
    最大堆的方法：
    队列本身要么顺序结构要么链接结构，还那么存。另外对于队列每个元素构建一个节点（包含在队列中的位置），这些节点构成一个最大堆，因此插入和删除操作都要维护这个最大堆，时间复杂度都是O(LogN)，取最大值的复杂度为 O(1)。
    两个栈的方法：
    A栈，B栈，这两个栈都是前面提到的pop-push-min复杂度都为O(1)的空间换时间的实现。
    取最值：返回A栈的最值和B栈的最值相比后的最值。复杂度O(1)。
    入队操作：直接入到B栈中。复杂度O(1)。
    出队操作：如果A栈不为空，直接A栈出栈，复杂度为O(1)，如果A栈为空，那么将B栈内容逐个出栈并且逐个入栈到A中，然后A栈出栈，复杂度O(N)，实际上是B栈的长度。
    对于这种方法，如果对列的操作时，一连串的入栈，然后是一连串的出栈，那么就是首先不停向B入栈，然后第一个出栈，B栈元素全压入A栈，A出栈一个，这一步是N的复杂度，但是此后是不停的从A出栈，这都是O (1)的复杂度。还不错呢。而且借助了栈的代码，方便实现。对于这样的情景，就是只有第一个出栈的时候，要O(N)，复杂度不是很均匀。对于每个元素来说，要么入B栈，入A栈，从A栈弹出，即总体是3N，平均下来基本上是O(3)，要不最大堆的O(LogN)是快了不少呢。
3. 参考

    编程之美，3.7，队列中取最大值操作问题