一根木棒折三段，能组成三角形的概率
1. 简述
一道经典的笔试题目：一根木棒折为三段，这三段可以组成一个三角形的概率，要求尽可能多的解答。
本文总结一下，现在我对这道题的理解，一个数学解法，两个编程解法，其中一个编程解法是反面例子哦。
2. 数学解法
设木棒长度为L，三段长度分别为x,y,L-x-y,其中0<x<L,0<y<L,0<x+y<L。
折三段以后要保证能组成三角形，需要满足三角形判定定理，即两边之和大于第三边，即
x+y>L-x-y, y+L-x-y>x, x+L-x-y>y, 化简后为x+y>L,x<L/2,y<L/2
P(三段可以组成三角形概率)
= (x+y>L/2,x<L/2,y<L/2,0<x<L,0<y<L,0<x+y<L)的面积 / (0<x<L,0<y<L,0<x+y<L)的面积
= (0<x<L/2, 0<y<L/2, 0<x+y<L/2)的面积 / (0<x<L,0<y<L,0<x+y<L)的面积
= (1/8 *L*L) / (1/2 *L*L)
= 1 / 4
3. 正确编程解法
通过编程模拟上面的数学解法。
进行LOOP次循环，记录两个数字，一个是随机得到的长度是合法的三段长度的次数，另一个是随机得到的长度不仅合法还能够组成三角形的次数。随机函数使用为：x=rand()%L, y=rand()%L。
这种方法相当于在(0<x<L, 0<y<L)的范围内随机取点，对于属于下三角范围内的点(0<x<L, 0<y<L，x+y<L)才进行考虑，否则丢弃。
计算得到的数值在0.25左右，当LOOP为L的平方的时候，一般较为稳定。
4. 错误编程解法
上一个编程解法中，分别使用两个随机函数，所以需要判断x+y是否超过了L，这个解法考虑先随机出x的长度，然后，根据x的长度来随机y的长度，这就相当于先折出x这段，然后折出y和z。这样每次折的时候，都控制长度范围，这样每次循环都保证折出三段是合法的，LOOP次循环每次都能利用到了。
具体操作为：第一个随机x=rand()%(L-2)+1, x的范围为[1,L-2]，第二个随机y=rand()%(L-x-1)+1，y的范围为[1,L-1-x],由此可知x+y的范围为[2, L-1]，第三段的范围为[min{L-x-y, 1}, max{L-x-y, L-2} ]这样保证长度必然合法。
计算得到的数值在0.19左右，当LOOP为L的平方的时候，一般较为稳定。
首先，正确结果应该是0.25，这个先强调下。这个方法比较迷惑人的地方是，先折一出一段，然后再折的时候，考虑了第一次折的结果，貌似与实际操作是一致的，为何结果会不对呢？
其实关键在于y=rand()%(L-x-1)+1，当折出的x=L-2时，那么y=1的概率是100%，这就相当于x越大，y可以取得值范围越小，由于每次x都是随机，x本身取值的概率是一样的，但是对于不同x，y取值的概率是不同的，反映到编程上，就是
不同x的频数是基本相同的，而对于不同的x，对应y的频数不同的，这就相当于在以前的面积上，加上了一层密度，再要计算的话，就是质量了之比，而不是面积之比了。实际上，题目的含义是，对于所有的情况的个数都是等同的。
这个随机编程使得，x=1的时候，y的每种取值的概率为(L-2)/L，x=L-3的时候，y的每种取值范围为(2)/L，频数必然不同。有的情况次数多了，有的情况次数少了，因此结果错误。
5. 代码
这里给出两个编程方法的代码。
#include <cstdlib>
using namespace std;
int L = 1000; // 木棒长度
int LOOP = 1000000; // 循环次数
void method1() {
int x,y,z;
int triangle = 0;
int tmp = LOOP;
while(tmp-- > 0) {
x = rand() % (L-2) + 1; // [1,L-2]
y = rand() % (L-x-1) + 1; // [1,L-x-1]
z = L - x - y;
if(x+y>z && x+z>y && y+z>x)
++triangle;
}
cout << ((double)triangle/(double)LOOP) * 100 << "%" << endl; // 19.3865%
}
void method2() {
int x,y,z;
int triangle = 0;
int all = 0;
int tmp = LOOP;
while(tmp-- > 0) {
x = rand() % L;
y = rand() % (L);
z = L - x - y;
if(x>0 && x<L && y>0 && y<L && z>0 && z<L) {
++all;
if(x+y>z && x+z>y && y+z>x)
++triangle;
}
}
cout << ((double)triangle/(double)all) * 100 << "%" << endl; // 24.9873
}
int main() {
method1();
method2();
system("PAUSE");
return 0;
}
