维基百科 双线性插值
双线性插值
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双线性插值,又称为双线性内插。在数学上,双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展,其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。
假如我们想得到未知函数 f 在点 P = (x, y) 的值,假设我们已知函数 f 在 Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 以及 Q22 = (x2, y2) 四个点的值。
首先在 x 方向进行线性插值,得到
然后在 y 方向进行线性插值,得到
这样就得到所要的结果 f(x, y),
如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1),那么插值公式就可以化简为
或者用矩阵运算表示为
与这种插值方法名称不同的是,这种插值方法并不是线性的,它的形式是
它是两个线性函数的乘积。另外,插值也可以表示为
在这两种情况下,常数的数目]都对应于给定的 f 的数据点数目。
线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值,然后进行 x 方向的插值,所得到的结果是一样的。
双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值。