任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。

题目：任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。

解法一：暴力求解。从1开始查找M，然后判断M*N=X这个数字是否只含有0,1.

解法二：由于没有直接的数学方法能帮我们直接得到M的值，所以我们只能进行搜索。由于相对M，乘积N*M具有明显的特征，需要搜索的空间要小很多，所以我们对乘积N*M进行搜索。如果N*M的结果有K位，则要循环2^K次，我们发现K的结果能轻易超过40，所以这个运行时间还是相当长。同余运算具有等价关系，mod N = i（0<=i<N）构成了N个等价类，将正整数集进行划分。对于每个等价类，我们只需要判断其中最小的元素加上10^K是否能被N整除，这样搜索空间就从2^K次减少到(K-1)*N步，而N的值一般要远远小于M的值，但要O(N)的空间复杂度。

由于无论M还是N*M的位数都相当大，所以我们用大整数表示M和N*M。由于要N个大整数，所以N不能为大整数，即其值最好取一百万以内。

代码实现入下：

 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
bool FindNumber(int N,vector<int> *BigInt);
int main()
{
	int N,i;
	cout<<"Input a positive integer: ";
	cin>>N;
	vector<int> *BigInt=new vector<int>[N];//用来存放余数为0 ~ N最小数字，数字表示，如整数1001，则存为1001=10^0+10^3=(0,3)，适合大数的表示
	for(i=0;i<N;i++)
		BigInt[i].clear();
	bool found=FindNumber(N,BigInt);
	if(found)
	{
		int len=BigInt[0][BigInt[0].size()-1]+1;
		char *product=new char[len+1];
		int product2=0;
		for(i=0;i<len;i++)
			product[i]='0';
		product[len]='\0';
		vector<int>::iterator iter;
		for(iter=BigInt[0].begin();iter!=BigInt[0].end();iter++)
		{
			product2=product2+pow(10,*iter);
			product[*iter]='1';
		}
		int j=len-1;
		i=0;
		while(i<j)
		{
			char tmp=product[j];
			product[j]=product[i];
			product[i]=tmp;
			i++;
			j--;
		}
		int M=product2/N;
		//product和product2都对应着乘积结果，但是product2对应着整型，乘积过大时，product2可能不会得到正确的结果；
		//product对应着乘积的字符串，可以表示大数的乘积结果，M为product2/N，即为要求的数，当product2溢出时，不是正确的结果,
		//那种情况下，需要用product/N，其中product为乘积的字符串表示，这里没有求解，读者可以自行解决。
		cout<<N<<" * "<<M<<" = "<<product<<" , "<<product2<<endl;
		delete []product;
	}
	else
		cout<<"Can not find M!"<<endl;
	delete []BigInt;
	return 0;
}
bool FindNumber(int N,vector<int> *BigInt)
{
	int i,j,k;
	BigInt[1].push_back(0);
	int NoUpdate=0;
	for(i=1,j=10%N; ; i++,j=(j*10)%N)
	{
		bool flag=false;
		if(BigInt[j].size()==0)
		{
			flag=true;
			// BigInt[j]=10^i,(10^i)%N=j
			BigInt[j].clear();
			BigInt[j].push_back(i);
		}
		for(k=1;k<N;k++)
		{
			//有新的余数出现
			if((BigInt[k].size()>0)&&(i>BigInt[k][BigInt[k].size()-1])
				&&(BigInt[(k+j)%N].size()==0))
			{
				//BigInt[(k+j)%N]=10^i+BigInt[k]
				flag=true;
				BigInt[(k+j)%N]=BigInt[k];
				BigInt[(k+j)%N].push_back(i);
			}
		}
		if(flag==false)
			NoUpdate++;
		else
			NoUpdate=0;
		//如果经过一个循环节都没能对BigInt进行更新，就是无解，跳出,
		//若有N次没更新过余数信息，则存在c>=0,10^(c+1)modN,...,10^(c+N)modN中必有两个是相等的，
		//那么继续进行下去也不会再更新了
		//或者BigInt[0]!=NULL,已经找到解，也跳出.
		if(NoUpdate==N||BigInt[0].size()>0)//若有N次没更新过余数信息，则存在c>=0,10^(c+1)modN,...,10^(c+N)modN中必有两个是相等的，那么继续进行下去也不会再更新了
			break;
	}
	if(BigInt[0].size()==0)
		return false;
	else
		return true;
}

 

 

我们可以证明对于任意的N，一定存在M，使得N*M的乘积的十进制表示只有0和1。证明过程见:http://blog.csdn.net/jcwkyl/article/details/3859155