常见算法-多项式计算(1)
最近在学算法，做做笔记，便于以后温习。
学习资源：《常用算法程序集》
一。多项式求值
1.一维多项式
问题描述：计算形如
的多项式在指定点x处的函数值。
问题分析：首先，将多项式表述成如下嵌套形式：
然后从里往外一层一层地进行计算。其递推计算公式如下：
最后得到的u即多项式值。
下面，通过代码计算此多项式：
#include <stdio.h>
/* polynome_one函数介绍
功能：计算并返回一维多项式在指定点x处的函数值
参数： int n:多项式的项数
double x:指定的自变量的值
double *modulus_array:存放n－1次多项式的n个系数的数组
*/
double polynome_one(int n, double x, double *modulus_array)
{
int i;
double result_; //利用推导出的递推公式进行计算
result_ = modulus_array[n-1];
for (i=n-2; i>=0; i--)
{
result_ = result_ * x + modulus_array[i];
}
return result_; //返回多项式值
}
int main()
{
int i;
double modulus_array[7] = {-20.0, 7.0, -7.0, 1.0, 3.0, -5.0, 2.0}; //初始化系数数组
double x[6] = {0.9, -0.9, 1.1, -1.1, 1.3, -1.3}; //初始化自变量x数组
for (i=0; i<=5; i++) //打印每次x对应的结果。
{
printf("x(%d) = %5.2lf p(x(%d)) = %13.7e\n", i, x[i], i, polynome_one(7, x[i], modulus_array));
}
return 0;
}
//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示 如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
/*
****************结果*******************
x(0) = 0.90 p(x(0)) = -1.8562268e+01
x(1) = -0.90 p(x(1)) = -2.6715368e+01
x(2) = 1.10 p(x(2)) = -1.9556128e+01
x(3) = -1.10 p(x(3)) = -2.1513028e+01
x(4) = 1.30 p(x(4)) = -2.0875732e+01
x(5) = -1.30 p(x(5)) = -6.3404320e+00
*/
2.二维多项式
问题描述： 计算形如的二维多项式在给定点（x，y）处的函数值
问题分析： 将二维多项式变形如下：
令：
则计算si的递推公式如下：
最后计算得到的u即si
最后再将所有的si累加，即可得到最后的解。
下面通过代码计算此多项式
其中，系数矩阵为：
#include <stdio.h>
/* polynome_two函数介绍
功能：计算并返回二维多项式在指定点x处的函数值
参数： int n:自变量y的最高次数为n－1
int m:自变量x的最高次数为m－1
double x:指定的自变量x的值
double y:指定的自变量y的值
double *modulus_array:存放二维多项式的系数
*/
double polynome_two(double *modulus_array, int m, int n, double x, double y)
{
int i, j;
double result_, each_si, now_xi;
result_ = 0.0;
now_xi = 1.0;
for (i=0; i<=m-1; i++)
{
each_si = modulus_array[i*n+n-1] * now_xi;
for (j=n-2; j>=0; j--)
{
each_si = each_si * y + modulus_array[i*n+j] * now_xi;
}
result_ += each_si;
now_xi = now_xi * x;
}
return result_;
}
int main()
{
double result_;
double modulus_array[4][5] = {{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0},
{6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0},
{11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0},
{16.0, 17.0, 18.0, 19.0, 20.0}};
result_ = polynome_two(modulus_array, 4, 5, 0.6, -1.3);
printf("p(0.6, -1.3) = %13.7e\n", result_);
}
//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示 如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
/*
****************结果*******************
p(0.6, -1.3) = 3.9665544e+01
*/
3.复数多项式
问题描述：计算形如
的复数多项式在给定复数z时的值。
问题分析：和上面的多项式分析一样，嵌套进行，就不多重复了。关键在于cmul对每组复数相乘的计算过程。
下面通过代码，计算
在z＝1+j时的函数值
#include <stdio.h>
/* cuml函数介绍
功能：计算两个复数乘积 即(a+bj)*(c+dj) = e+fj
参数: 对应复数中的各个值
结果: 对e，f分别计算求得值
*/
void cmul(double a, double b, double c, double d, double *e, double *f)
{
double p, q, s;
p = a * c;
q = b * d;
s = (a+b) * (c+d);
*e = p - q;
*f = s - p - q;
}
/* polynome_z函数介绍
功能：计算复数多项式在给定复数z(x+yj)时的函数值
参数: double *modulus_r: 存放多项式的实部
double *modulus_r: 存放多项式的虚部
double x: 给定复数z的实部
double y: 给定复数z的虚部
double *u: 返回多项式值的实部
double *v: 返回多项式值的虚部
*/
void polynome_z(double *modulus_r, double *modulus_i, int n, double x, double y, double *u, double *v)
{
int i;
double now_r, now_i;
double p, q;
now_r = modulus_r[n-1];
now_i = modulus_i[n-1];
for (i=n-2; i>=0; i--)
{
cmul(now_r, now_i, x, y, &p, &q);
now_r = p + modulus_r[i];
now_i = q + modulus_i[i];
}
*u = now_r;
*v = now_i;
}
int main()
{
double x, y, u, v;
double modulus_r[4] = {2.0, 2.0, 1.0, 2.0};
double modulus_i[4] = {1.0, 1.0, 1.0, 2.0};
x = 1.0;
y = 1.0;
polynome_z(modulus_r, modulus_i, 4, x, y, &u, &v);
printf("p(1.0+j) = %10.7lf+%10.7lfj", u, v);
}
//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示 如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
//计算结果： p(1.0+j) = -7.0000000+ 6.0000000j
