超整数及其用途

    大家知道，整数（Integers))集合Z，包含正、负整数以及零，是一种经常有用的数系。在无穷小微积分学里面，为了展开理论的需要（仅仅是这个目的）必须扩大整数数系Z。怎么办呢？

       J.Keisler教授在《基础微积分》第3.8节连续函数的性质（搜索一下，即可查阅）里面给出如下定义：

DEFINITION

     A hyperinteger（超整数）is a hyperreal number y such that y = [x] for some hyperreal x.

         函数y= [x]，平常叫做“最大整数函数”，其记号“[]”本身就是一种特定函数的符号，表示不大于x的整数。也就是说，”When x varies over the hyperreal numbers, [x] is the greatest hyperinteger y such that y ≤ x.“，而且，根据转移原则，”Every hyperreal number x is between two hyperintegers [x] and [x]+ 1“，即成立下式：

                                    【x] ≤ x ≤ [x]+1.

           由此可见，超整数是一种特定的超实数，是传统整数系Z的自然扩充Z*。正的无限超实数x产生正的无限超整数，记为：K，H等。我们设想，给定超实区间[a,b]*(注意：此区间不是实区间[a,b]，区间的右上角带有星号”*“)，将其无限地加以“分割”（在无穷小微积分学里面，等分既已足够），得到无限多个（H个）等长的子区间（长度为δ）：

                         [a,a+δ] , [a+δ, a+2δ],……，[a+(K-1)δ,a+Kδ],……，[a+(H-1)δ, b]

各子区间的端点(分割点）是：

                             a,a+δ, a+2δ, ……,a+Kδ，……,a+Hδ= b,

其中超整数K在1至H之间变化。对于超实线段进行无限分割（等分即已足够）在展开微积分学理论方面，特别是无穷级数与积分理论，是非常有用的结构模型。在传统微积分学里面，这是无法想象的。

              实际上，无穷小ε与δ，超整数H与K，是无穷小微积分学的两个”法宝“，神通广大。只要真正地领会、掌握了这两者的实质与用法，学习无穷小微积分就算学得差不多了。无穷小与无穷大（超整数）的具体数值并不重要，它们只是一个理论符号（推理工具），只要它们存在即可。A.Robinson发明”非标准分析“，真是一个”绝招儿“，发明了无穷小ε与δ，定义了超整数H与K，却不管它们的数值到底有多小，究竟有多大。妙哉，妙哉！