最小均方算法（LMS Algorithm）理论及DSP实现
LMS算法可认为是机器学习里面最基本也比较有用的算法，神经网络中对参数的学习使用的就是LMS的思想，在通信信号处理领域LMS也非常常见，比如自适应滤波器。
本文主要对LMS（Least Mean Square）算法进行简单的整理，包括内容：
（1）理论上介绍基于LMS的梯度下降算法（包括BACH/STOCHASTIC），给出一个matlab的实现
（2）DSP上的实现，主要使用C语言
1. LMS算法理论
问题引出
因为本人感兴趣的领域为机器学习，因此这里先说明下学习的过程，给定这样一个问题：某地的房价与房地面积和卧室的数量之间成如下表的关系，
Living area (feet2) #bedrooms Price (1000$s)
2104 3 400
1600 3 330
2400 3 369
1416 2 232
3000 4 540
据此，我们要通过分析上面的数据学习出一个模型，用于预测其它情况（比如面积2000,卧室数5）的房价。这就是一个学习问题，更简洁的说，就是一个概率里的回归问题。这里固定几个符号：x表示输入（[Living area，bedrooms]），y表示输出（Price），h表示要学习的模型，m表示输入每个数据维度（这里是2），n表示输入数据的个数（这里是5）。
该学习过程的可以描述如下图，
.
h必定与面积和卧室数相关，.这里不考虑复杂的情况，假设模型是线性的（实际其它问题中很可能是其它关系模型，比如exp）
.
.令x1=1，则。这里，我们考虑上面的房价问题，还是将w0忽略。
为了获得h(x)，现在的问题是什么呢？那就是：怎样获得h(x)的w1~w2的值。
我们再对问题进行描述：
已知——上面的数据表格，线性模型（不知道参数）
求解——参数w1~w2
引入一个函数，叫损失函数
就是最小二乘法中计算误差的函数，只是前面添加了1/2，表示什么意思呢？损失函数越小，说明模型与当前已知数据的拟合程度越好，否则越差。因此，求解w1~w2的目标就是求解J(w)最小，这就用到了LMS算法。
LMS算法
LMS算法是一个搜索算法，假设w从某个给定的初始值开始迭代，逐渐使J(W)朝着最小的方向变化，直到达到一个值使J(w)收敛。考虑梯度下降算法（gradient descent algorithm），它通过给定的w值快速的执行如下的更新操作：
其中为学习率（Learning rate）。
要对w更新，首先需要完成上面的求导，求导的结果参见下面的算法流程。
对一个单一的训练实例j，
按照上述的更新方法，对多个实例的更新规则为
Repeat until convergence {
for every j, exec
}
这种更新的梯度下降方法称为batch gradient descent。还有一种更新的方式：采用随机的样本数据实例，如下
Repeat until convergence {
for every j, exec
}
这种方法称为stochastic gradient descent (或者incremental gradient descent)。
两种方法的明显区别是batch的训练时间要比stochastic常，但效果可能更好。实际问题中，因为我们只需要找到一个接近使J(w)最小的值即可，因此stochastic更常用。
说了这么久，LMS到底能用来干嘛，其实上面已经很清楚了：参数训练中的求极值。
在matlab上对stochastic gradient descent 的实现如下：
function [test_targets, a, updates] = LMS(train_patterns, train_targets, test_patterns, params)
% Classify using the least means square algorithm
% Inputs:
% train_patterns - Train patterns
% train_targets - Train targets
% test_patterns - Test patterns
% param - [Maximum iteration Theta (Convergence criterion), Convergence rate]
%
% Outputs
% test_targets - Predicted targets
% a - Weights vector
% updates - Updates throughout the learning iterations
%
% NOTE: Suitable for only two classes
%
[c, n] = size(train_patterns);
[Max_iter, theta, eta] = process_params(params);
y = [train_patterns ; ones(1,n)];
train_zero = find(train_targets == 0);
%Preprocessing
processed_patterns = y;
processed_patterns(:,train_zero) = -processed_patterns(:,train_zero);
b = 2*train_targets - 1;
%Initial weights
a = sum(processed_patterns')';
iter = 1;
k = 0;
update = 1e3;
updates = 1e3;
while ((sum(abs(update)) > theta) & (iter < Max_iter))
iter = iter + 1;
%k <- (k+1) mod n
k = mod(k+1,n);
if (k == 0),
k = n;
end
% a <- a + eta*(b-a'*Yk)*Yk'
update = eta*(b(k) - a'*y(:,k))*y(:,k);
a = a + update;
updates(iter) = sum(abs(update));
end
if (iter == Max_iter),
disp(['Maximum iteration (' num2str(Max_iter) ') reached']);
else
disp(['Did ' num2str(iter) ' iterations'])
end
%Classify the test patterns
test_targets = a'*[test_patterns; ones(1, size(test_patterns,2))];
test_targets = test_targets > 0;
2. 基于LMS的梯度下降算法在DSP上的实现
下面是我在DSP6713上使用软件仿真实现的LMS算法，
/*
* zx_lms.h
*
* Created on: 2013-8-4
* Author: monkeyzx
*/
#ifndef ZX_LMS_H_
#define ZX_LMS_H_
/*
* methods for @lms_st.method
*/
#define STOCHASTIC (0x01) /* 随机梯度下降 */
#define BATCH (0x02) /* BATCH梯度下降 */
struct lms_st {
short method; /* 0/1 */
double *x; /* features, x0,...,x[n-1] */
int n; /* dimension of features */
double *y; /* given output, y0,..,y[m-1] */
int m; /* number of data set */
double *weight; /* weighs that want to train by using LMS, w0,w1,..,w[n-1] */
double lrate; /* learning rate */
double threshhold; /* if error < threshold, stop iteration */
int max_iter; /* if iter numbers > max_iter, stop iteration,
if max_iter<0, then max_iter is unused */
};
extern void zx_lms(void);
#endif /* ZX_LMS_H_ */
/*
* zx_lms.c
* Least Mean Squares Algorithm
* Created on: 2013-8-4
* Author: monkeyzx
*/
#include "zx_lms.h"
#include "config.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
static double init_y[] = {4.00,3.30,3.69,2.32};
static double init_x[] = {
2.104,3,
1.600,3,
2.400,3,
3.000,4
};
static double weight[2] = {0.1, 0.1};
/*
* Least Mean Square Algorithm
* return value @error when stop iteration
* use @lms_prob->method to choose a method.
*/
double lms(struct lms_st *lms_prob)
{
double err;
double error;
int i = 0;
int j = 0;
int iter = 0;
static double *h = 0; /* 加static,防止栈溢出*/
h = (double *)malloc(sizeof(double) * lms_prob->m);
if (!h) {
return -1;
}
do {
error = 0;
if (lms_prob->method != STOCHASTIC) {
i = 0;
} else {
/* i=(i+1) mod m */
i = i + 1;
if (i >= lms_prob->m) {
i = 0;
}
}
for ( ; i<lms_prob->m; i++) {
h[i] = 0;
for (j=0; j<lms_prob->n; j++) {
h[i] += lms_prob->weight[j] * lms_prob->x[i*lms_prob->n+j]; /* h(x) */
}
if (lms_prob->method == STOCHASTIC) break; /* handle STOCHASTIC */
}
for (j=0; j<lms_prob->n; j++) {
if (lms_prob->method != STOCHASTIC) {
i = 0;
}
for ( ; i<lms_prob->m; i++) {
err = lms_prob->lrate
* (lms_prob->y[i] - h[i]) * lms_prob->x[i*lms_prob->n+j];
lms_prob->weight[j] += err; /* Update weights */
error += ABS(err);
if (lms_prob->method == STOCHASTIC) break; /* handle STOCHASTIC */
}
}
iter = iter + 1;
if ((lms_prob->max_iter > 0) && ((iter > lms_prob->max_iter))) {
break;
}
} while (error >= lms_prob->threshhold);
free(h);
return error;
}
#define DEBUG
void zx_lms(void)
{
int i = 0;
double error = 0;
struct lms_st lms_prob;
lms_prob.lrate = 0.01;
lms_prob.m = 4;
lms_prob.n = 2;
lms_prob.weight = weight;
lms_prob.threshhold = 0.2;
lms_prob.max_iter = 1000;
lms_prob.x = init_x;
lms_prob.y = init_y;
// lms_prob.method = STOCHASTIC;
lms_prob.method = BATCH;
// error = lms(init_x, 2, init_y, 4, weight, 0.01, 0.1, 1000);
error = lms(&lms_prob);
#ifdef DEBUG
for (i=0; i<sizeof(weight)/sizeof(weight[0]); i++) {
printf("%f\n", weight[i]);
}
printf("error:%f\n", error);
#endif
}
输入、输出、初始权值为
static double init_y[] = {4.00,3.30,3.69,2.32};
static double init_x[] = { /* 用一维数组保存 */
2.104, 3,
1.600, 3,
2.400, 3,
3.000, 4
};
static double weight[2] = {0.1, 0.1};
main函数中只需要调用zx_lms()就可以运行了，本文对两种梯度下降方法做了个简单对比，
| max_iter=1000 | w1 | w2 | error | CPU Cycles |
| batch | -0.6207369 | 1.419737 | 0.20947 | 2181500 |
| stochastic |
0.145440 | 0.185220 | 0.130640 | 995 |
需要说明的是：batch算法是达到最大迭代次数1000退出的，而
stochastic是收敛退出的，因此这里batch算法应该没有对数据做到较好的拟合。stochastic算法则在时钟周期上只有995，远比batch更有时间上的优势。
注：这里的error没有太大的可比性，因为batch的error针对的整体数据集的error，而stochastic 的error是针对一个随机的数据实例。
LMS有个很重要的问题：收敛。开始时可以根据给定数据集设置w值，使h(x)尽可能与接近y，如果不确定可以将w设置小一点。
这里顺便记录下在调试过程中遇到的一个问题：在程序运行时发现有变量的值为1.#QNAN。
解决：QNAN是Quiet Not a Number简写，是常见的浮点溢出错误，在网上找到了解释
A QNaN is a NaN with the most significant fraction bit set. QNaN’s propagate freely through most arithmetic operations. These values pop out of an operation when the result is not mathematically defined.
在开始调试过程中因为迭代没有收敛，发散使得w和error等值逐渐累积，超过了浮点数的范围，从而出现上面的错误，通过修改使程序收敛后上面的问题自然而然解决了。
参考：
[1] Andrew Ng的机器学习课程
[2] Richard O.Duda 等，《模式分类》
