斜率优化DP

斜率优化DP 两步骤；

1.造出DP方程；

2.通过DP方程构造出一个斜率优化方程；

具体怎么构造呢？  如 两个点 a b;

构造出 DP(a)<DP(b)  然后通过这一式子，构造出一个下凸包（后面的边的斜率大于前面的边）

只有下凸包的点是可能作为状态转移方程的转移点，其他点都不可能。

然后，构造完后，  每一次更新的时候，就用head 和head+1两者进行比较，

如果DP(head+1)>DP(head)   那么将其出队 操作方法是 head++；

这里给出一道例题：

给出一个n个元素数组，将其分为几组，每一组算出其和的平方加上给定数m，将每一组的值求和然后输出，求最小值。

#include<cstdio>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
int sum[maxn];
int f[maxn];
int q[maxn];
int xie(int x,int y)
{   //虽说这里命名为斜率，但是得结合下面的区间合才能是斜率；
    return f[y]-f[x]+sum[y]*sum[y]-sum[x]*sum[x];
}
int qu_num(int x,int y)
{   //区间合；
    return sum[y]-sum[x];
}
void init()
{   //优化过的初始化；
    memset(f,0,sizeof(f));
    sum[0]=0;
}
int main()
{
    int n,m,i;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        init();
        for(i=1;i<=n;i++){
            int t;
            scanf("%d",&t);
            sum[i]=sum[i-1]+t;  //前缀和；
        }
        int head=0,tail=0;
        for(i=1;i<=n;i++){
            int k=sum[i]*2;   //这是斜率的一部分；
            while(head<tail&&xie(q[head],q[head+1])<=k*qu_num(q[head],q[head+1]))
                head++; //假如head+1比head优，就将head出队，直到不优为止；
                        //那为什么到不优的点之后，就可以停止了呢；
                        //判断条件：sum[i]*2小于斜率；
                        //因为这是一个凸包，斜率逐渐上升，既然head比head+1
                        //不优的话，那么再后面的点所能计算出的斜率与该点比较
                        //斜率会越来越大，而判断条件是：sum[i]*2小于斜率；
                        //所以当前点肯定比后面的点更优，故可以在此停止搜索；
                        //前提这是一个凸包；
            f[i]=f[q[head]]+qu_num(q[head],i)*qu_num(q[head],i)+m;
            while(head<tail){
                int a=xie(q[tail-1],q[tail])*qu_num(q[tail],i);
                int b=xie(q[tail],i)*qu_num(q[tail-1],q[tail]);
                if(a>=b) tail--;
                else break;
                //保证这是个向下凸包，为上面的搜索铺好前提；
                //这道题的第一个点是原点，并且数据都是正整数，所以肯定能保证
                //这是一个向下凸包；
            }
            tail++;
            q[tail]=i;
        }
        printf("%d\n",f[n]);
    }
    return 0;
}