求逆元模板
方法一——费马小定理求逆元:
(前提是p为质数,否则不能用)根据费马小定理,当gcd(a,p)=1时,有a^(p-1)=1 (mod p),即a*a^(p-2)=1 (mod p),即a关于p的逆元为a^(p-2),用快速幂即可求。
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 2 LL ret = 1; 3 while(b){ 4 if(b & 1) ret = (ret * a) % p; 5 a = (a * a) % p; 6 b >>= 1; 7 } 8 return ret; 9 } 10 LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 11 return pow_mod(a, p-2, p); 12 }
方法二——扩展欧基里德求逆元:
若gcd(a,b)=1,则a*x+b*y=1有解,其解的x即为a关于b的逆元,y为b关于a的逆元。
证明:a*x+b*y=1 -> a*x%b+b*y%b=1%b -> a*x%b=1%b -> a*x=1 (mod b),即x为a关于b的逆元,同理可证y。
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ 4 if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} 5 else{ 6 ex_gcd(b, a % b, y, x, d); 7 y -= x * (a / b); 8 } 9 } 10 LL inv(LL t, LL p){//如果不存在,返回-1 11 LL d, x, y; 12 ex_gcd(t, p, x, y, d); 13 return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; 14 } 15 int main(){ 16 LL a, p; 17 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){ 18 printf("%lld\n", inv(a, p)); 19 } 20 }
方法三:
(前提为p是质数,否则不能用)inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p,然后一直递归到1即可,因为1的逆元是1。
证明:
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
这个方法不限于求单个逆元,比前两个好,它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元。
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元,注意:t要小于p,最好传参前先把t%p一下 4 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; 5 } 6 int main(){ 7 LL a, p; 8 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){ 9 printf("%lld\n", inv(a%p, p)); 10 } 11 }
1 const int M=10007; 2 const int N=301; 3 int inv[M],mat[N][N]; 4 void init(){//求逆元 5 inv[1]=1; 6 for(int i=2;i<M;i++) 7 inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M; 8 }