线段树+扫描线

扫描线：

下面是来自soar转载的一篇博客。

这篇博客解决了我对算区间长度时的不理解。实际上这个线段树的叶子节点保存的是这个点x坐标到下一个x坐标（排序后的）的区间长度。

题意:

二维平面有n个平行于坐标轴的矩形,现在要求出这些矩形的总面积. 重叠部分只能算一次.

分析:

线段树的典型扫描线用法.

       首先假设有下图两个矩阵,我们如果用扫描线的方法如何计算它们的总面积呢?

 

 首先我们将矩形的上下边分为上位边(即y坐标大的那条平行于x轴的边),和下位边(y坐标小的平行于x轴的边).然后我们把所有矩形的上下位边按照他们y坐标从小到大排序,可以得到4条扫描线:

 

 又因为上面2个矩形有4个不同的浮点数x坐标,所以我们需要把x坐标离散化,这样才能用线段树来维护信息.所以我们这样离散化:

 

 由上图可知,4个不同的x坐标把x轴分成了3段有效的区间.这里要注意我们线段树中每个叶节点(控制区间[L,L])不是指X[L]坐标,而是指区间[X[L],X[L+1]].线段树中其他节点控制的区间[L,R],也是指的x坐标轴的第L个区间到第R个区间的范围,也就是X[L]到X[R+1]坐标的范围.

 

然后我们Y坐标从小到大的顺序读入每条扫描线,并维护当前我们所读入的所有扫描线能有效覆盖X轴的最大长度sum[1].这里特别要注意如果我们读入的扫描线是矩形的下位边,那么我们就使得该范围的标记cnt位+1,如果是上位边,那么该范围的cnt就-1.所以如果cnt=0时,表示该节点控制的范围没有被覆盖,只要cnt!=0 就表示该节点控制的几块区间仍然被覆盖.

下面依次读入每条矩阵边,来一一分析,首先是读入第一条矩阵边:

 

 我们读入了矩形1的下位边,那么该区域的cnt就+1=1了,所以该区域[10,20]就被覆盖了,然后可以推出整个区域被覆盖的长度是10.再根据第二条扫描线离第一条扫描线的高度差为5.所以不管你第二条扫描线是哪个矩形的什么边,或者能覆盖到X轴的什么范围,我上图中蓝色的矩形面积肯定是要算到总面积里面去的.即总面积ret+=sum[1]*(扫描线2的高度-扫描线1的高度). (想想看是不是这样).

下面读第二条扫描线:

 

 由于第二条扫描线也是下位边,所以[15,20]和[20,25]的cnt+1.使得我们覆盖的范围变成了[10,25]了,并且第3条扫描线在20高度,所以这次我们必然增加的面积是上面深蓝色的长条=sum[1]*(扫描线3的高度-扫描线2的高度).

下面我们要读第三条扫描线了:

 

 由于第三条扫描线是区间[10,20]的上位边,所以对应区间的cnt要-1,所以使得区间[10,15]的cnt=0了,而[15,20]区间的cnt-1之后变成了1.[20,25]的cnt仍然为1,不变.所以当前覆盖的有效x轴长度为10,即区间[15,25].所以增加的面积是图中褐色的部分.

 

到此,矩形的面积和就算出来了.由于对于任一矩形都是先读下位边(cnt+1),再读上位边(cnt-1)的,所以在更新线段树的过程中,任意节点的cnt都是>=0的.

 

下面说代码实现部分:　　

首先建立一个node结构体用来保存每条扫描线,node中有信息:

l: 表示扫描线的左端x坐标

r:表示扫描线的右端x坐标

h: 表示扫描线的高度

d: 为1或-1,标记扫描线是矩形的上位还是下位边.

我们首先读入所有矩形的信息,每读入一个矩形信息我们就更新两条扫描线,并且把矩形的两个端点x坐标放入X[MAXN]数组中,

然后我们对node和X都排序,node按h值从小到大排序.

X按从小到大排序.

然后我们在X的本地数组内,对X去重,并且用k表示一共有多少个X.

当我们需要找到第i个区域的两端点坐标时,只需要X[i]和X]i+1].

线段树维护cnt(根本信息)和sum两个信息,其中sum为double,cnt为int型.

cnt: >=0时表示本节点控制的区域内下位边个数-上位边个数的结果.如果==-1时,表示本节点左右子树的上下位边数不一致.

sum: 本节点控制的区域内cnt值不为0的区域总长度.

线段树操作:

PushDown(i,l,r):如果cnt!=-1,那么下放cnt信息,并更新子节点的sum信息.

PushUp(i,l,r): 根据子节点的cnt值和sum值更新父节点的cnt和sum值.

update(ql,qr,v,i,l,r): 使得[ql,qr]与[l,r]区间的公共部分cnt值+v.

如果ql<=l && r<=qr 且 cnt[i]!=-1的话,直接更新并return

否则先PushDown

在一次递归更新左右儿子

最后PushUp.

 

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<string>
 6 #include<queue>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<map>
 9 #include<iomanip>
10 #define INF 99999999
11 using namespace std;
12  
13 const int MAX=200+10;
14 int mark[MAX<<2];//记录某个区间的下底边个数
15 double sum[MAX<<2];//记录某个区间的下底边总长度
16 double hash[MAX];//对x进行离散化,否则x为浮点数且很大无法进行线段树 
17  
18 //以横坐标作为线段(区间),对横坐标线段进行扫描
19 //扫描的作用是每次更新下底边总长度和下底边个数,增加新面积 
20 struct seg{//线段 
21     double l,r,h;
22     int d;
23     seg(){}
24     seg(double x1,double x2,double H,int c):l(x1),r(x2),h(H),d(c){}
25     bool operator<(const seg &a)const{
26         return h<a.h;
27     }
28 }s[MAX];
29  
30 void Upfather(int n,int left,int right){
31     if(mark[n])sum[n]=hash[right+1]-hash[left];//表示该区间整个线段长度可以作为底边 
32     else if(left == right)sum[n]=0;//叶子结点则底边长度为0(区间内线段长度为0) 
33     else sum[n]=sum[n<<1]+sum[n<<1|1];
34 }
35  
36 void Update(int L,int R,int d,int n,int left,int right){
37     if(L<=left && right<=R){//该区间是当前扫描线段的一部分,则该区间下底边总长以及上下底边个数差更新 
38         mark[n]+=d;//更新底边相差差个数 
39         Upfather(n,left,right);//更新底边长 
40         return;
41     }
42     int mid=left+right>>1;
43     if(L<=mid)Update(L,R,d,n<<1,left,mid);
44     if(R>mid)Update(L,R,d,n<<1|1,mid+1,right);
45     Upfather(n,left,right);
46 }
47  
48 int search(double key,double* x,int n){
49     int left=0,right=n-1;
50     while(left<=right){
51         int mid=left+right>>1;
52         if(x[mid] == key)return mid;
53         if(x[mid]>key)right=mid-1;
54         else left=mid+1;
55     }
56     return -1;
57 }
58  
59 int main(){
60     int n,num=0;
61     double x1,x2,y1,y2;
62     while(cin>>n,n){
63         int k=0;
64         for(int i=0;i<n;++i){
65             cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
66             hash[k]=x1;
67             s[k++]=seg(x1,x2,y1,1);
68             hash[k]=x2;
69             s[k++]=seg(x1,x2,y2,-1);
70         }
71         sort(hash,hash+k);
72         sort(s,s+k);
73         int m=1;
74         for(int i=1;i<k;++i)//去重复端点 
75             if(hash[i] != hash[i-1])hash[m++]=hash[i];
76         double ans=0;
77         //memset(mark,0,sizeof mark);
78         //memset(sum,0,sizeof sum);如果下面是i<k-1则要初始化,因为如果对第k-1条线段扫描时会使得mark,sum为0才不用初始化的 
79         for(int i=0;i<k;++i){//扫描线段 
80             int L=search(s[i].l,hash,m);
81             int R=search(s[i].r,hash,m)-1;
82             Update(L,R,s[i].d,1,0,m-1);//扫描线段时更新底边长度和底边相差个数
83             ans+=sum[1]*(s[i+1].h-s[i].h);//新增加面积 
84         }
85         printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",++num,ans);
86     }
87     return 0;
88 }
89 /*
90 这里注意下扫描线段时r-1:int R=search(s[i].l,hash,m)-1;
91 计算底边长时r+1:if(mark[n])sum[n]=hash[right+1]-hash[left];
92 解释:假设现在有一个线段左端点是l=0,右端点是r=m-1
93 则我们去更新的时候,会算到sum[1]=hash[mid]-hash[left]+hash[right]-hash[mid+1]
94 这样的到的底边长sum是错误的,why?因为少算了mid~mid+1的距离,由于我们这利用了
95 离散化且区间表示线段,所以mid~mid+1之间是有长度的,比如hash[3]=1.2,hash[4]=5.6,mid=3
96 所以这里用r-1,r+1就很好理解了

 

 

 

 

 

扫描线：
下面是来自soar转载的一篇博客。
这篇博客解决了我对算区间长度时的不理解。实际上这个线段树的叶子节点保存的是这个点x坐标到下一个x坐标（排序后的）的区间长度。
题意:
二维平面有n个平行于坐标轴的矩形,现在要求出这些矩形的总面积. 重叠部分只能算一次.
分析:
线段树的典型扫描线用法.
       首先假设有下图两个矩阵,我们如果用扫描线的方法如何计算它们的总面积呢?


首先我们将矩形的上下边分为上位边(即y坐标大的那条平行于x轴的边),和下位边(y坐标小的平行于x轴的边).然后我们把所有矩形的上下位边按照他们y坐标从小到大排序,可以得到4条扫描线:


又因为上面2个矩形有4个不同的浮点数x坐标,所以我们需要把x坐标离散化,这样才能用线段树来维护信息.所以我们这样离散化:


 
由上图可知,4个不同的x坐标把x轴分成了3段有效的区间.这里要注意我们线段树中每个叶节点(控制区间[L,L])不是指X[L]坐标,而是指区间[X[L],X[L+1]].线段树中其他节点控制的区间[L,R],也是指的x坐标轴的第L个区间到第R个区间的范围,也就是X[L]到X[R+1]坐标的范围.
然后我们Y坐标从小到大的顺序读入每条扫描线,并维护当前我们所读入的所有扫描线能有效覆盖X轴的最大长度sum[1].这里特别要注意如果我们读入的扫描线是矩形的下位边,那么我们就使得该范围的标记cnt位+1,如果是上位边,那么该范围的cnt就-1.所以如果cnt=0时,表示该节点控制的范围没有被覆盖,只要cnt!=0 就表示该节点控制的几块区间仍然被覆盖.
下面依次读入每条矩阵边,来一一分析,首先是读入第一条矩阵边:


 
我们读入了矩形1的下位边,那么该区域的cnt就+1=1了,所以该区域[10,20]就被覆盖了,然后可以推出整个区域被覆盖的长度是10.再根据第二条扫描线离第一条扫描线的高度差为5.所以不管你第二条扫描线是哪个矩形的什么边,或者能覆盖到X轴的什么范围,我上图中蓝色的矩形面积肯定是要算到总面积里面去的.即总面积ret+=sum[1]*(扫描线2的高度-扫描线1的高度). (想想看是不是这样).
下面读第二条扫描线:


由于第二条扫描线也是下位边,所以[15,20]和[20,25]的cnt+1.使得我们覆盖的范围变成了[10,25]了,并且第3条扫描线在20高度,所以这次我们必然增加的面积是上面深蓝色的长条=sum[1]*(扫描线3的高度-扫描线2的高度).
下面我们要读第三条扫描线了:


由于第三条扫描线是区间[10,20]的上位边,所以对应区间的cnt要-1,所以使得区间[10,15]的cnt=0了,而[15,20]区间的cnt-1之后变成了1.[20,25]的cnt仍然为1,不变.所以当前覆盖的有效x轴长度为10,即区间[15,25].所以增加的面积是图中褐色的部分.
到此,矩形的面积和就算出来了.由于对于任一矩形都是先读下位边(cnt+1),再读上位边(cnt-1)的,所以在更新线段树的过程中,任意节点的cnt都是>=0的.
下面说代码实现部分:
首先建立一个node结构体用来保存每条扫描线,node中有信息:
l: 表示扫描线的左端x坐标
r:表示扫描线的右端x坐标
h: 表示扫描线的高度
d: 为1或-1,标记扫描线是矩形的上位还是下位边.
我们首先读入所有矩形的信息,每读入一个矩形信息我们就更新两条扫描线,并且把矩形的两个端点x坐标放入X[MAXN]数组中,
然后我们对node和X都排序,node按h值从小到大排序.
X按从小到大排序.
然后我们在X的本地数组内,对X去重,并且用k表示一共有多少个X.
当我们需要找到第i个区域的两端点坐标时,只需要X[i]和X]i+1].
 
线段树维护cnt(根本信息)和sum两个信息,其中sum为double,cnt为int型.
cnt: >=0时表示本节点控制的区域内下位边个数-上位边个数的结果.如果==-1时,表示本节点左右子树的上下位边数不一致.
sum: 本节点控制的区域内cnt值不为0的区域总长度.
 
线段树操作:
PushDown(i,l,r):如果cnt!=-1,那么下放cnt信息,并更新子节点的sum信息.
PushUp(i,l,r): 根据子节点的cnt值和sum值更新父节点的cnt和sum值.
update(ql,qr,v,i,l,r): 使得[ql,qr]与[l,r]区间的公共部分cnt值+v.
如果ql<=l && r<=qr 且 cnt[i]!=-1的话,直接更新并return
否则先PushDown
在一次递归更新左右儿子
最后PushUp.————————————————版权声明：本文为CSDN博主「sdau_blue」的原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。原文链接：https://blog.csdn.net/xianpingping/article/details/83032798

posted @ 2019-10-04 12:57  古比  阅读(222)  评论(0)  编辑  收藏  举报