【统计学】6.统计量及其抽样分布

【统计学】6.统计量及其抽样分布

6.1 统计量

6.2 抽样分布

6.3 样本均值的分布与中心极限定理

6.4 由正态分布导出的几个重要分布

学习目标

1.了解统计量及其分布的几个概念

2.了解由正态分布导出的几个重要分布

3.理解样本均值的分布与中心极限定理

4.掌握单样本比例和样本方差的抽样分布

6.1 统计量

6.1.1 统计量的概念

统计量（statistic）

1. 设

\[X_1,X_2,...,X_n \]

是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由次样本构造一个函数

\[T(X_1,X_2,...,X_n) \]

不依赖于任何未知参数，则称函数

\[T(X_1,X_2,...,X_n) \]

是一个统计量

样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量

2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础

6.1.2 常用统计量

(1)样本均值

\[\overline X = \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i \]

(2)样本方差

\[S^2 = \frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2 \]

(3)样本变异系数

\[V = S \sqrt{X} \]

(4)k阶矩

\[m_k = \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X^k_i \]

(5)k阶中心矩

\[v_k = \frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^k \]

(6)样本偏度

\[\alpha_3 =\frac{ \sqrt{n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^3}{\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^{\frac{3}{2}}} \]

(7)样本峰度

\[\alpha_4 = \frac{n-1\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^4}{[\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2]^2}-3 \]

6.2 抽样分布（sampling distribution）

1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
   1. 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是样本统计量
   1. 样本均值、样本比例、样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据

6.3 样本均值的分布与中心极限定理

样本均值的抽样分布

1. 在重复容量为n的样本时，由样本均值的多有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种概率分布
3. 推断总体均值μ的理论基础

当总体服从正态分布

\[N(\mu,\sigma^2) \]

来自该总体的所有容量为n的样本的均值

\[\overline x \]

也服从正态分布，

\[\overline x \]

的数学期望为

\[\mu \]

方差为

\[\frac{\sigma^2}{n} \]

即

\[\overline x \backsim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) \]

中心极限定理(central limit theorem)

从均值为μ，方差为

\[\sigma^2 \]

的任意一个总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为

\[\frac{\sigma^2}{n} \]

的正态分布

6.4 由正态分布推导出来的几个重要分布

卡方分布

1. 有阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Person)分别于1875年和1900年推导出来

2. 设

   \[X \backsim N(\mu,\sigma^2) \]

   则

   \[z = \frac{X-\mu}{\sigma} \backsim N(0,1) \]

3. 令

   \[Y = z^2 \]

   则Y服从自由度为1的卡方分布，即

   \[Y \backsim \chi^2(1) \]

4. 当总体

   \[X \backsim N(\mu,\sigma^2) \]

   从中抽取容量为n的样本，则

   \[\frac{\sum^2_{i=1}(x_i-\overline x)^2}{\sigma^2} \backsim \chi^2(n-1) \]

卡方分布的性质和特点

1. 分布的变量始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称
3. 期望为

\[E(\chi^2) = n \]

方差为

\[D(\chi^2) = 2n \]

其中n为自由度

4. 可加性：若U和v为两个独立的卡方分布随机变量，

\[U \backsim \chi^2(n_1),V \backsim \chi^2(n_2) \]

则

\[U+V \]

这一随机变量服从自由度为

\[n_1+n_2 \]

的卡方分布

t分布

1. 高赛特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以"student"为笔名的论文中首次提出
2. t 分布式类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布

F分布

1. 由统计学家费希尔（R.A.Fisher）提出的，以其姓氏的第一个字母来命名

2. 设若U为服从自由度为n1的卡方分布，即

   \[U \backsim \chi^2(n_1) \]

   V为服从自由度为n2的卡方分布，即

   \[V \backsim \chi^2(n_2) \]

   且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为

   \[F = \frac{\frac{U}{n_1}}{\frac{V}{n_2}} \]
   \[F \backsim F(n_1,n_2) \]

   

例题

例题 1

设从一个均值μ=10，标准差sigma=0.6的总体中随机选取容量n=36的样本。假定该总体不是很偏，要求：

1. 样本均值小于9.9的近似概率

   n=36说明是大样本，则该样本均值是满足

   \[\overline x \backsim N(10,\frac{0.6^2}{36}) = N(\mu,\sigma^2) \\ \mu = 10 ,\sigma = 0.1 \]

   先进行标准化

   \[P(\overline x <9.9) = P(\frac{\overline x -10}{0.1}<\frac{9.9-10}{0.1}) \\ \phi(-1) = 1- \phi(1) = 1-0.8413 = 0.1587 \]

2. 样本均值超过9.9的近似概率

\[P(\overline x >9.9) = P(Z>-1) = \phi(1) = 0.8413 \]

3. 样本均值在总体均值10附近0.1范围的概率

\[P(9.9< \overline x <10.1) = P(-1<Z<1) = 2\phi(1) -1 = 0.6826 \]

例题2

某汽车电瓶生产商称其生产的电瓶均有均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否正确，为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行寿命试验

1. 假定厂方声称是正确的，试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布

   \[\overline X \backsim N(60,\frac{36}{50}) \]

2. 假定厂方声称是正确的，试描述50个样本组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率

\[P(\overline X \leq 57) = P(\frac{\overline X -60}{\sqrt{0.72} }\leq \frac{57-60}{\sqrt{0.72}}) \\= 1 - \phi(3.529) = 1-0.9998 = 0.0002 \]

例题3

\[Z_1,Z_2,...Z_6 \]

表示从标准正态总体中随机抽取的容量为n=6的一个样本，试确定常数b，使得，

\[P(\sum^6_{i=1}Z^2_i \leq b) = 0.95 \]

这是一个小样本，总体服从正态分布则

\[Z_i \backsim N(0,1) \]

\[P(\chi^2_{6} \leq b) = 0.95 \\ P(\chi^2_{6} > b) = 0.05 \\ b = 12.592 \]