【数据分析师 Level 1 】16.回归分析

【数据分析师 Level 1 】16.回归分析

1.基本概念

线性回归的出现

当被解释变量和解释变量都为连续型，且存在线性关系时，可以采用线性回归对被解释变量进行预测。

多元线性回归的出现是非常自然的，由于在一元线性回归中，因变量只能依赖一个自变量来解释，换一句话说，就是我们只能在一维空间中来解释世界，这是十分糟糕的，毕竟事物之间的关联是非常复杂的，只用其中一个变量来解释，总是显得那么苍白和无力。

下面我们就来以“房价”和“客户价值”为因变量，探索一下影响他们的自变量。首先，影响房价的因素有哪些呢？

线性回归模型

因此，我们不难发现，在用更多变量来解释因变量，显然会更加全面、丰富、合理和科学。

与一元线性回归类似，一个含有k个自变量的多元线性回归模型可以表示为：

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_kx_k+\epsilon$$

其中，

$$\beta_0,\beta_1,\beta_2,...,\beta_k$$

为模型参数

$$\epsilon$$

为误差项，用来解释不能被自变量线性关系解释的部分。

2.基本假设

多元线性回归的基本假设

由于自变量增加，多元线性回归除了保留一元线性回归的5个假设之外，还新增了线性无关假设。

• 假设1：线性关系。因变量

  $$y$$

  和自变量

  $$x_1,x_2,...,x_k$$

  之间存在线性关系

• 假设2：随机抽样。我们的样本数据是来自总体的随机样本，该数据代表着假设1描述的总体

• 假设3：期望为0。误差项

• $$\epsilon$$

  是一个期望值为0的随机变量，即

  $$E(\epsilon) = 0$$

• 假设4：同方差。给定任意的解释变量

  $$x_1,x_2,...,x_k$$
  $$\epsilon$$

  的方差

  $$\sigma^2$$

  都相同的

• 假设5：正态性。误差项

  $$\epsilon$$

  独立于解释变量，服从

  $$N(0,\sigma^2)$$

  且相互独立

• 假设6：不存在完全共线性。在样本中没有一个自变量是常数。自变量之间不存在严格的线性关系。

线性关系假设——线性关系检验

线性关系检验的原理与一元线性回归基本一致。具体步骤如下:

提出假设：

$$H_0:\beta_1=\beta_2=...=\beta_k = 0$$

线性关系不显著。

注意

与一元线性回归最大的不同在于其原假设为所有参数同时为0.备择假设是参数不同时为0

• 计算检验统计量

$$F = \frac{\frac{SSR}{k}}{\frac{SSE}{(n-k-1)}}:F(k,n-k,k-1)$$

这里k表示自变量个数。

• 确定临界值：基于显著性水平

  $$\alpha$$

  设定出临界值

  $$F_{\alpha}$$

• 做出决策：若

$$F>F_{\alpha}$$

拒绝

$$H_0$$

注意

与一元线性回归一样，代码输出的解读主要依赖于p值。

线性关系检验——回归系数检验

回归系数检验的原假设为

$$H_0:\beta_i = 0$$

即第i个自变量

$$x_i$$

与因变量

$$y$$

没有线性关系。检验统计量与一元线性回归一致：

$$t = \frac{\hat{\beta_i}}{s_{\hat{\beta_1}}}:t(n-k-1)$$

这里k表示自变量个数。检验决策方法与一元线性回归一致，这里不重复介绍。

假设失效的影响：如果模型的线性关系假设不成立，这就意味着模型中可能还有

$$x^2,ln(x)$$

等非线性情形，或者因变量无法由自变量线性表示，此时所得到的模型参数无法证实刻画数据包含的内部规律。

假设失效的解决办法：如果自变量与因变量的关系是非线性的，则可以考虑对于自变量做

$$x_2,ln(x)$$

等非线性变换后，再做线性回归。

期望为0的假设

• 假设检验方法：（图形法）可以直接绘制散点图，查看残差是否对称分布在0的两侧；（统计检验）可以用假设检验中的t检验方法，其假设为

$$H_0:E = 0$$

具体操作在案例中展示

• 假设失效的影响：如果残差的期望不等于0，而等于其他的某个常数，那么这个常数就应该出现在多元线性回归的常数项内。
• 假设失效解决办法：如果失效，考虑是否强制将常数项设置为0，或考虑异常值问题。

同方差假设

假设检验方法：（图形法）对残差以及因变量的拟合值作图

如果没有异方差，那么残差和因变量拟合值构成的散点应该是完全随机的，其趋势线应该是几乎是水平的。上图中间的趋势线存在弯曲，即存在一定的异方差。

除了作图，我们也可以选择Breusch-Pagan检验，注意该检验的原假设是同方差，备择假设是异方差，这样读者根据输出的p值就可以直观判断了

假设失效的影响：如果误差是异方差的，那么OLS估计的标准误差将不可靠

假设失效解决办法：克服异方差性的影响，我们可以尝试对因变量做一些非线性变换，如取对数、取平方根等等

正态性假设

假设检验方法：（图形法）做QQ图

QQ图的解读十分简单，如果散点在直线上或者直线附近，那么我们就可以认为数据是正态分布的，否则就是任务不是正态分布。

对于正态分布的统计检验，我们可以选择KS检验（Kolmogorov-Smirnov test）其原假设：数据是正态分布的，这样读者可以直接根据输出的P值来对检验结果进行分析。

假设失效的影响：如果误差项不是正态分布的，则OLS估计的标准差将不可靠。然而对于正态性假设对于线性回归的重要性，目前各方还有一些有价值的观点。

假设失效解决办法：关注样本中两端的异常值是否合理，如异常值不合理，可以考虑删除异常值，也可以尝试对变量做非线性变换。

注意

事实上该假设中包含了残差的独立性，即没有自相关。自相关可以通过DW检验来分析，DW的取值落在（0，4）内，DW=2意味着完全没有自相关性，如果0<DW<1表明残差间有较强的正相关性

$$1 \leq DW <2$$

表明残差间较弱的正相关性

$$2 < DW \leq 3$$

表明残差间有较弱的负相关性

$$3<DW<4$$

表明残差间有较强的负相关性。

横截面和时间序列数据在回归建模上的差异

横截面是指在同一时间平面上的数据，例如2013年各个上市公司的财报数据，如果研究其不同变量之间的线性关系，可以用多元线性回归模型。但是如果数据包含时间趋势，例如2001-2018年全国各个省市的宏观经济指标数据，如果要研究不同宏观指标之间的线性影响，就要用面板回归模型了（计量模型的一种）。

3.参数估计

多元线性回归的参数估计

与一元线性回归一样，多元线性的回归仍然使用最小二乘法来估计，即

$$minF(\hat\beta_0,\hat\beta_1,...,\hat\beta_k) = min \sum^n_{i=1}(y_i-\hat{y_i})^2 = min\sum^n_{i=1}\epsilon_i^2$$

也就是使得因变量样本值得到因变量估计值之间的2次距离总和最小。由于带估计参数有k+1个，因此我们在计算时会用到k+1个方程构造的方程组。

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial F}{\partial \beta_0}|_{\beta_0=\hat \beta_0} = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial \beta_1}|_{\beta_1=\hat \beta_1} = 0 \\ ...\\ \frac{\partial F}{\partial \beta_k}|_{\beta_k=\hat \beta_k} = 0 \\ \end{array} \right.$$

通过方程组求解可以得到各个参数的参数估计

4.判定系数

修正的R^2

修正的R^2(Adjusted R-squared)，又叫做修正多重判断系数。R^{2倾向于乐观估计线性回归的拟合度，它会随着模型中包含的自变量数量的增加而增加，而不管这自变量本身是否真的有效，这显然是不合理的。修正的R}2能够有效的改进这种对于拟合度的高估，如果在模型中存在不重要的变量，即这些变量不能有效的改进模型，那么修正的R^2将会降低。

修正的R^2的计算公式等于

$$R^2_0 = 1-(1-R^2) \times \frac{n-1}{n-k-1}$$

其中n为样本数，k为自变量个数，事实上我们发现在其他值不变的情况下，上述公式中的k越大，则修正的R^2越小，这就意味着k类似于一个惩罚项，避免因为无效的自变量而高估了拟合度。

例题精讲

1.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为y=60+90x，下列判断正确的是（）

A.劳动生产率为1000元时，工资为50元

B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元

C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元

D.劳动生产率为1000元时，工资为90元

答案：C

解析：自己算

2.以下哪个假设不是线性回归分析的前提假设？

A.解释变量之间必须严格独立

B.解释变量之间不能强线性相关

C.扰动项独立同分布

D.扰动项服从正态分布

答案：A

解析：回归分析的前提假设中，包含解释变量之间非线性相关、扰动项独立同分布，扰动项服从正态分布