【数据分析师 Level 1 】6.一元线性回归

【数据分析师 Level 1 】6.一元线性回归

1.相关关系

散点图的绘制与解读、相关系数的概念与特征

用于衡量两类现象在发展变化的方向与大小方面存在一定的关联（不包括因果和共变关系）。

正线性相关

例如销售额中涵盖了销售利润和各类成本等，从数据大致可以看出，销售利润随着销售额的增长而增长，由于各类不确定因素，数据点基本落在直线周围，我们称之为正线性相关。

散点图是描述变量相关的非常合适的一种方式

负线性相关

例如通常情况下，某地区的犯罪率越高，则该地区的房价越低，但由于供需环境等其他不确定因素，数据点基本落在直线周围，我们称之为负相关。

完全线性相关

虽然所有点都在直线上，但是我们不能说两个变量是函数关系，这是因为我们看到的是样本，并且我们假设两个变量是随机变量，而我们需要推导的是两个总体的关系。

非线性相关

例如虽然网站的点击量随着网站的广告投入的增加而增加，但其数据点分布在对数线周围，呈现出对数相关性。

估计标准误差与相关系数的关系

一元线性回归中，对于同一个问题，估计标准误差就意味着样本点到回归线的距离越近，那么两个变量的线性相关性就越强，相关系数越大。

2.相关系数

相关系数

一般情况下，如果不做特殊说明，指的就是线性相关。

如果相关系数是根据变量的样本数据计算的，即为了推断总体，那么则称为样本相关系数（虽然有的时候在部分资料里并不严格说明），记为r(有的教材里也称为Person相关系数)

 

 

 

与相关系数ρ类似，r的取值范围是[-1,1]，|r|越接近于1则说明两个变量的相关性越强，且有以下5种情况：

 

 

 

虽然没有严格的规定，但我们往往习惯按照下面的方式对相关性强度进行分级：

 

 

 

由于r只是样本线性相关系数，无论其数值等于多少，我们需要推断的始终是总体的相关性如何，这时候我们就需要运用显著性检验的知识了，我们运用R.A.Fisher提出的 t 检验方法来检验两个变量总体之间是否存在线性相关关系。

原假设

 

 

 

检验统计量

 

 

 

适用条件：数据间相互独立，包括观测间相互独立与变量间相互独立；变量为连续变量（积差相关的条件）；两变量间的关系是线性的。

散点图提供如下特征：

• 散点的密集程度，反应相关性的大小；
• 散点是否具有线性关系，或线性趋势，还是其他形式，如果是其他形式是否可以转换成线性形式；
• 线性关系之外是否存在异常值及其存在于线性趋势的那个方向
• 数据是否存在稀疏问题

一元线性回归方程回归分析的概念和特点

回归分析能解决什么问题？

• 探索影响因变量的可能因素
• 利用回归模型进行预测

相关与回归间的关系？

• 相关分析侧重反应散点的疏密程度
• 回归分析侧重反应散点的趋势程度

3.最小二乘法

线性回归的基本过程

 

 

 

4.评价与检验

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例题精讲

1.回归分析前，哪种数据处理是不合理的（）
A.标准化处理
B.取对数处理
C.排秩处理
D.取整处理

答案：CD
解析：标准化可以消除数据规模的影响，对数处理往往可以解决数据正态假设的问题

线性回归分析主要用于那种情境（）
A.客户价值评估
B.贷款违约识别
C.不同班级在英语得分上是否存在差异
D.根据用户特征进行市场细分

答案：A
解析：B项说的是逻辑回归的内容，C项说的是方差分析，D项是聚类分析

3.线性回归假设正确的是（）
A.线性：因变量与自变量间的线性关系
B.正态性：残差必须服从正态分布
C.独立同分布：残差间相互独立，且遵循同一分布
D.正交假定：误差项与自变量不相关，其期望为0

答案：ABCD

4.以下关于线性回归阐述正确的是（）
A.如果我们建立了y关于x的线性回归方程，那么我们就可以将y变化的原因归结于x的变化
B.如果我们建立了y关于x的线性回归方程，在没有其他信息的情况下，我们只能说这两个变量存在线性关系
C.如果变量x与y无法建立线性回归方程，那就说明x和y没有关系
D.如果想研究市场规模与市场环境因素的关系，那么我们就可以以30年的市场规模数据作为因变量y(年化数据)，对应的市场环境数据作为自变量x，建立线性回归方程（共30个样本）

答案：B
解析：线性回归适合用于某一段时间的数据即截面数据

5.根据最小二乘法拟合直线回归方程是使得（）

 

 

答案：A

回归平方和SSR反映了y的总变差中（）

A.由于x和y之间的线性关系引起的y的变化部分
B.除了x和y之间的线性影响之外的其他因素对y变差的影响
C.由于x和y之间的非线性关系引起的y的变化部分
D.由于x和y之间的函数关系引起的y的变化部分

 

 

 

答案：A
解析：熟悉SSR、SSE的概念

7.如果两个变量之间完全相关，则以下结论中不正确的是（）

 

 

 

8.一个由100名年龄在30~50岁的男子组成的样本，测得其身高和体重的相关系数r=0.42，则下列描述正确的是（）
A.较矮的男子趋于较轻
B.身高与体重存在低度正相关
C.体重较重的男子趋于较矮
D.45%的较高男子趋于较重

答案：B
解析：相关系数r表示回归直线对观测数据拟合程度高低