P8814 [CSP-J 2022] 解密 题解

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解方程

$\mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{中}\mathrm{说}，n=pq，ed=(p-1)(q-1)+1，m=n-ed+2.$

$\mathrm{把}ed\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{展}\mathrm{开}，\mathrm{得}\mathrm{到}:$

$ed=p(q-1)-(q-1)+1$

$ed=pq-p-q+2$

$\mathrm{再}\mathrm{把}\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{后}\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{带}\mathrm{入}m\mathrm{中}，\mathrm{得}:$

$m=n-(pq-p-q+2)+2.$

$m=n-pq+p+q-2+2$

$\because n=pq$

$\therefore m=pq-pq+p+q-2+2$

$m=p+q.$

$\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{想}\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{出}p\mathrm{和}q\mathrm{的}\mathrm{值}，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{再}\mathrm{构}\mathrm{造}\mathrm{出}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{二}\mathrm{元}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程},\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{构}\mathrm{成}$

$\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{二}\mathrm{元}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{方}$组

$\mathrm{所}\mathrm{以}，\mathrm{最}\mathrm{简}\mathrm{单}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{求}\mathrm{出}p-q\mathrm{的}\mathrm{值}$

p - q = ?

$\mathrm{回}\mathrm{想}\mathrm{起}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{公}\mathrm{式}$

$(a-b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=2ab+2ab=4ab$

$\mathrm{刚}\mathrm{好}，\mathrm{如}\mathrm{果}p=a,q=b\mathrm{呢}？$

$(p-q{)}^2=(p+q{)}^2-4pq$

$\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{开}\mathrm{方}$

$p-q=\sqrt{(p+q{)}^2-4pq}.$

$\because p+q=m=n-ed+2，n=pq$

$\therefore p-q=\sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n}$

方程组

$\{\begin{array}{cc}p+q=n-ed+2& \\ p-q=\sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n}& \end{array}$

$\mathrm{输}\mathrm{入}n,e,d\mathrm{三}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{后}，\mathrm{就}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{求}\mathrm{出}p-q\mathrm{和}p+q\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{了}.$

$\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{用}\mathrm{加}\mathrm{减}\mathrm{消}\mathrm{元}\mathrm{法}.$

$\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{加}，\mathrm{得}:$

$p=\frac{(n-ed+2+\sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n})}{2}$

$\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{减}，\mathrm{得}:$

$q=\frac{(n-ed+2-\sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n})}{2}$

判断是否是正解

$\mathrm{前}2\mathrm{个}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{套}\mathrm{就}\mathrm{行}，\mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}pq=n,ed=(p-1)(q-1)+1.$

$\mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{在}\mathrm{开}\mathrm{根}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{候}，\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{会}\mathrm{产}\mathrm{生}\mathrm{一}\mathrm{些}\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{正}\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{数}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{只}\mathrm{要}\mathrm{判}\mathrm{断}p，q\mathrm{是}\mathrm{否}$

$\mathrm{为}\mathrm{真}\mathrm{即}\mathrm{可}.$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k;
int main() {
//	freopen("decode.in", "r", stdin);
//	freopen("decode.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &k);
	while (k--) {
		long long n, d, e;
		scanf("%lld%lld%lld", &n, &d, &e);
		// 接下来就是套公式 
		long long p = (n - e * d + 2 + sqrt((n - e * d + 2) * (n - e * d + 2) - 4 * n)) / 2;
		long long q = (n - e * d + 2 - sqrt((n - e * d + 2) * (n - e * d + 2) - 4 * n)) / 2;
		// 判断这2个解是否成立 
		if (p * q == n && e * d == (p - 1)  * (q - 1) + 1&& p && q) {
			if (p > q) swap(p, q); // 小的数在前面 
			printf("%lld %lld\n", p, q);
		}
		else
			printf("NO\n");
	}
	return 0;
}

知识点

$\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{公}\mathrm{式}，\mathrm{方}\mathrm{程}$