基础算法学习2-dp

一、算法题: 最大子阵

　　给定一个n×m 的矩阵 A，求A 中的一个非空子矩阵，使这个子矩阵中的元素和最大。其中，A 的子矩阵指在 A 中行和列均连续的一部分。
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n,m(1≤n,m≤50)，分别表示矩阵 A 的行数和列数。
接下来 n 行，每行 m 个整数，表示矩阵 A(−1000≤i,j≤1000)。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示 A 中最大子矩阵的元素和。
样例输入
3 3
2 -4 1
-1 2 1
4 -2 2
样例输出
6

二、解题代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int matrix[50+5][50+5] = {0};
const int inf = 0x7fffffff;

int get(int* dp, int m){
    int max = -inf;
    int temp = 0;
    for(int i=0;i<m;i++){
        temp=0;
        for(int j=i;j<m;j++){
            temp += dp[j];
            if(temp>max){
                max = temp;
            }
        }
    }
    return max;
}

int main() {
    int n = 0, m = 0;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < m; j++){
            cin>>matrix[i][j];
        }
    }
    int max = -inf;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int dp[50+5] = {0};
        for(int j=i;j<n;j++){
            int k;
            for(k=0;k<m;k++){
                dp[k] += matrix[j][k];
            }
            int tmp = get(dp,k);
            if(tmp>max){
                max = tmp;
            }
        }
    }
    cout << max;
    return 0;
} 

三、解题心得

　　1、对于二维的矩阵数据，基本上要使用三层for循环才能将所有问题考虑进去，上一个问题的局部最优解是下一个局部问题的条件。

　　2、对于get函数中，找到一维数组里的最小矩阵和，if判断要放在内层for循环里面，要不然考虑的情况就不全面。

四、优化代码

#include<iostream> 
#include <cstring> 

using namespace std; 
int max(int a,int b) { 
    return a>b?a:b;
} 
int main() { 
    int n,m,i,j,k,MAX=-9999,a[51][51],dp[51][51]; 
    cin>>n>>m; memset(a,0,sizeof(a)); 
    memset(dp,0,sizeof(dp)); 
    for(i = 1; i <= n; ++i){
        for(j = 1; j <= m; ++j){
            cin>>a[i][j]; 
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+a[i][j]-dp[i-1][j-1]; 
        } 
    } 
    
    for(i=1;i<=n;++i){
        for(j=1;j<=m;++j){
            for(int p=1;p<=i;++p){
                for(int q=1;q<=j;++q){
                    MAX =max(dp[i][j]-dp[i][q-1]-dp[p-1][j]+dp[p-1][q-1],MAX);
                }
            }
        }
    }
    cout<<MAX;
    return 0;
}

解题心得：

　　1、优化后的解法，dp思想更加明显。重点就是 该的状态转换方程。