求本原根
本原根
本原根/原根/生成元
从定义能看出，求本原根就是给定\(m\)，求\(a\)。
a模p的阶
如果\(a\)不被素数\(p\)整除，则\(a\)模\(p\)的阶是指使得\(a^e=1（mod p）\)的最小指数\(e>=1\)。 例如2、3、4、5、6模7的阶分别是3、6、3、6、2，记\(Ord_p(a)\)。
所以原根的也可定义：
设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于\(\phi(m)\)，则称a为模m的一个原根。假设一个数g对于P来说是原根，那么\(g^i mod P,i\in[2,\phi(P))\)的结果两两不同.
本原根通常与幂模有关。
性质
1、如果\(a\)是素数\(p\)的原根，则数\(amod p,a^2 mod p,…,a^{p-1}mod p\) 是不同的并且包含\(1\)到\(p-1\)的整数的某种排列，且构成一个模\(p\)的简化剩余系。
2、“原根定理”：每个素数p都有本原根，而且刚好有\(\phi(p−1)\)个模p的本原根。
3、一个数a模p的阶\(Ord_p(a)\)总能整除p-1。
4、如果p有原根，则它恰有\(\phi(\phi(p))\)个不同的原根（无论p是否为素数都适用）
5、如果正整数\({\displaystyle (a,m)=1}(a,m)=1\)和正整数 d 满足\({\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}}a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}\)，则 ${\displaystyle Ord_{m}(a)}Ord_{m}(a) $整除 \(d\)。因此\({\displaystyle Ord_{m}(a)}Ord_{m}(a)\)整除\({\displaystyle \varphi (m)}\varphi (m)\)。在例子中，当\({\displaystyle a=3}a=3\)时，我们仅需要验证 3 的 2、3 次方模 7 的余数即可，如果其中有一个是1，则3就不是原根。
求本原根
举一个例子：求25的本原根？
即求解一个数\(a\)，当\(m=\phi(25)\)，\(a^m mod 25 =1\)时，则\(a\)就是模25的本原根。
1、求本原根的个数
个数为\(\phi(\phi(25))=\phi(20)=8\)，则25的本原根个数为8个。
2、求最小本原根
设2是其中的一个原根，且\(\phi(25)=20\)，\(2^2mod25=4,...,2^5mod 25=7,...,2^{10}mod 25=24,...2^{20}mod 25=1\)，最后\(2^{20}mod 25\)才等于1，故2是25的一个本原根。
还有一种方法检测：\(2\)是否是25的本原根？
验证\(\phi(25)=20,20(20=2*2*5)\)有两个素因子2和5，\(2^2mod 25=4,2^{5}mod 25=7\)，计算结果没有1，则2是25的本原根。
3、利用已知最小的本原根求其他本原根
20的简化剩余系（且与20互素且小于20的集合）是\((1,3,7,9,13,17,22,23)\)，则可以由本原根2求出其他本原根：
\(2^1mod25=2,2^3mod25=8,2^7mod 25=22,2^9mod 25=12,2^{11}mod 25=23,2^{13}mod 25=17,2^{17}mod 25=22,2^{19}mod25=13\)
所以25的本原根为\((2,3,8,12,13,17,22,23)\)。
或者是逐个判断从[2,25)之间的数\(a\)，只有\(a^{m}mod25=1\)，当且仅有\(m=\phi(25)=20\)时，\(a\)才是25的本原根。
程序实现
1、计算25的本原根（逐个计算）
#-*-coding:utf-8-*-
'''
求出25的所有本原根
'''
#与25互素的所有数的集合封装于List ：primeList中
primeList = [1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 14 , 16 , 17 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 24]
byg = [] #用于存储25的本原根List ：byg
list = [] #用于存储遍历primeList中元素测试结果的集合
for j in primeList : #对所有与25互素的数字进行遍历测试
for i in range (1 , 21) : #求出每个数字的1-20次方并mod 25
list.append (j**i % 25)
list.sort() #将集合list进行排序
if primeList == list : #比较集合是否与primeList相同，若相同此时的j为25的本原根
byg.append (j) #将本原根j压入byg中
else :
pass #否则，不执行任何操作
list = [] #初始化list ， 以备下一次迭代
print ("25的所有本原根为 ： " , byg) #将25的所有本原根组成的集合byg打印出来
或者为：
（1）在计算25的所有本原根时，首先我们要得到25的欧拉函数值可以知道25=5^2，其欧拉函数值=25-5=20，且这20个数为1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24。
（2）接着遍历这些数依次求解这些数的1-20次方对25取余，并且这20个数不重复，且均在这些数里，编程里体现为对求得的20个数排序再比较。
（3）由于高次幂会溢出，参考了大数计算优化的快速幂取余算法解决了这个问题。
#include<iostream>
using namespace std;
void bubbleSort(int arr[], int n);//冒泡排序
int power(long int x, long int y, long int n);//快速幂取余实现(x^y%n)
int main()
{
int i,j,k,flag[20];
int n=25,sum=20;
int s[20]={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24};
cout<<"25的所有本原根为：";
for(i=0;i<sum;i++)
{
k=0;
for(j=1;j<sum+1;j++)
{
//这里要利用快速幂取余，否则数值太大会溢出
flag[j-1]=power(s[i],j,n);
}
bubbleSort(flag,sum);
for(j=0;j<sum;j++)
{
if(flag[j]!=s[j])
k=1;
}
if(k==0)
cout<<s[i]<<" ";
}
cout<<endl<<endl;
return 0;
}
//冒泡排序
void bubbleSort(int arr[], int n)
{
for(int i = 0;i < n;i++)
{
for(int j = 0;j < n-i-1;j++)
{
if(arr[j] > arr[j+1])
{
int t = arr[j];
arr[j] = arr[j+1];
arr[j+1] = t;
}
}
}
}
//快速幂取余实现(x^y%n)
int power(long int x, long int y, long int n)
{
long int t = 1;
while (y > 0)
{
if (y % 2 == 1)
{
y -= 1;
t = t*x%n;
} else {
y /= 2;
x = x*x%n;
}
}
return t%n;
}
2、求p的本原根个数
#include<iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
* 求模p的本原根数
*/
int euler(int x)
{
int res = x;
for(int i=2;i<(int)sqrt(x*1.0)+1;i++)
{
if(x%i == 0)
{
res = res/i*(i-1);
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x>1)res = res/x*(x-1);
return res;
}
int main()
{
int p=25;
cout << euler(p-1);
return 0;
}
3、求大素数的本原根
#includestdio.h
#includestdlib.h
#include "miracl.h"
#include time.h
time_t begin, end;
int main()
{
int MAX_D=0;
miracl* mip = mirsys(MAX_D + 10, 10);
big p = mirvar(0);
big p_1 = mirvar(0);//p-1
big p_2 = mirvar(0);//p-2
big q = mirvar(0);
big g = mirvar(0);
big flag = mirvar(0);//中间变量
big one = mirvar(1);//常量1
printf("----------------------------\n\n");
printf(" 素数生成元\n\n");
printf("----------------------------\n\n");
printf("请输入生成素数的位数：");
scanf("%d", &MAX_D);
//密钥生成部分
{
irand((unsigned)time(NULL)); // 使用当前时间作为随机数种子
//随机生成一个安全素数p
bigdig(MAX_D, 10, q);//生成一个150位的随机数
nxsafeprime(0, 0, q, p);//生成一个比q大的安全素数p
copy(p, q);
decr(q, 1, q);
subdiv(q, 2, q);//生成q=(p-1)/2
decr(p, 1, p_1);//生成p_1=p-1
decr(p, 2, p_2);//生成p_2=p-2
//寻找一个本原根
//irand((unsigned)time(NULL)); // 使用当前时间作为随机数种子
while (1)
{
bigrand(p_1, g);//g小于p-1
if (compare(g, one) = 0)//保证g大于1
continue;
powmod(g, mirvar(2), p, flag);
if (compare(flag, one) != 0)
{
powmod(g, q, p, flag);
if (compare(flag, one) != 0)
{
multiply(q, mirvar(2), flag);
powmod(g, flag, p, flag);
if (compare(flag, one) == 0)
break;
}
}
}//end
printf("p = ");
cotnum(p, stdout);
printf("g = ");
cotnum(g, stdout);
}
mirexit();
system("pause");
return 0;
}
参考
1、https://blog.csdn.net/xdu_truth/article/details/8093029
2、https://blog.csdn.net/weixin_40520963/article/details/86685657
