符号说明

数域

\(R\)：实数
\(Z\)：整数
\(C\)：复数
\(Q\)：有理数

空间

\(R^n\)：n维实数
\(Z^n\)：n维整数
\(C^n\)：n维复数
\(Q^n\)：n维有理数

集合

\(Z^+\)：正整数
\(R^+\)：非负实数
\(Z_q,q\geq 1\)：商环\(Z/qZ\)
\(\left [ n \right ]\)：表示\({1,...,n}\)
\(A/B\)：B在A上的补集
\(|B|\)：集合B中元素的个数
\(log\)：以2为底
\(M^T\)：向量/矩阵的转置

区间

（1）对于\(x,y\in R\)，其中\(y>0\)，\(\left \lfloor x \right \rfloor\)表示小于\(x\)的最大整数，\(x mod y =x-\left \lfloor x/y \right \rfloor y\)
（2）\(\left \lceil x \right \rfloor=\left \lfloor x+1/2 \right \rfloor\)

范数

范数（Norm）是一个数学概念，用于测量向量空间中向量的“大小”。范数需要满足以下性质：

非负性：所有向量的范数都大于或等于零，只有零向量的范数为零。
齐次性：对任意实数λ和任意向量v，有||λv|| = |λ| ||v||。
三角不等式：对任意向量u和v，有||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||。

在实际应用中，范数通常用于衡量向量或矩阵的大小，比如在机器学习中，范数常用于正则化项的计算。

常见的范数有：

L0范数：向量中非零元素的个数。
L1范数：向量中各个元素绝对值之和，也被称为曼哈顿距离。
L2范数：向量中各个元素的平方和然后开方，也被称为欧几里得距离。
向量：\(||v||=(\sum_{i}v_i^2)^{1/2}\)
矩阵：\(||M||=max_i||m_i||,m_i\)是\(M\)的第\(i\)列
无穷范数：向量中各个元素绝对值的最大值。

需要注意的是，L0范数并不是严格意义上的范数，因为它违反了齐次性。但是在机器学习中，L0范数常用于衡量向量中非零元素的个数，因此也被称为“伪范数”。

分布采样

（1）D表示集合S上的一个概率分布，\(x\leftarrow D\)表示根据概率D采样\(x\in S\)
（2）\(U(S)\)：S上的均匀分布
（3）若D是一个概率算法，使用\(y\leftarrow D(x)\)表示在输入x上运行算法D，最后赋值\(D(x)\)到输出y上

最小熵(min entropy)

这里\(X\)是集合中的分布还是元素？

运算

模2加\(\oplus\)

即逐比特异或

模\(2^{16}\)加\(\boxplus\)

即加模65536

\[0000000000000000 \boxplus 1000000000000000=1000000000000000 \]

因为\(0 + 2^{15} \bmod \left(2^{16}\right)=2^{15}\)

模\(2^{16}+1\)乘\(\odot\)

即乘模65537，全0作为\(2^{16}\)处理

\[0000000000000000 \odot 1000000000000000=1000000000000001 \]

因为\(2^{16} \times 2^{15} \bmod \left(2^{16}+1\right)=2^{15}+1\)

复杂度

符号表示

1、\(\Theta\)符号

读音：theta、西塔；既是上界也是下界(tight)，等于的意思。

是大\(O\)符号和大\(\Omega\)符号的结合
2、\(O\)符号

读音：big-oh、欧米可荣（大写）；表示上界(tightness unknown)，小于等于的意思。

是用于描述函数渐近行为的数学符号,更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。
3、\(o\)符号

读音：small-oh、欧米可荣（小写）；表示上界(not tight)，小于的意思。

4、\(\Omega\)符号

读音：big omega、欧米伽（大写）；表示下界(tightness unknown)，大于等于的意思。

与大\(O\)符号的定义类似，但主要区别是，大\(O\)符号表示函数在增长到一定程度时总小于一个特定函数的常数倍，大\(\Omega\)符号则表示总大于，来描述一个函数数量级的渐近下界。
5、\(w\)符号

读音：small omega、欧米伽（小写）；表示下界(not tight)，大于的意思。

下面是具体定义：

渐进标准

其中\(\widetilde{O}(n)\)表示忽略了poly因子的复杂度

多项式的(polynomial)

对于某个常数\(c\)，若\(f(n)=O(n^c)\)，则称\(f(n)\)关于n是多项式的，记为\(poly(n)\)。

例如：\(q=Poly(n)\)，即关于\(n\)的多项式，例如\(q=n^2\)

可忽略的(hegligible)

对于任意常数\(c\)，有\(f(n)=o(n^{-c})\)，则称\(f(n)\)关于n是可忽略的，记为\(negl(n)\)

若一个事件以至少\(1-negl(n)\)的概率发生，则称这件事发生的概率是压倒性的（overwhelming）

语义安全

（1）\(ADV_Y^X\)：算法\(A\)在攻击基于安全定义\(X\)的方案\(Y\)时的优势，可简写为\(ADV(A)\)
（2）统计不可区分

若\(\Delta (D_1,D_2)\leq negl(n)\)，则称\(D_1\)和\(D_2\)是统计不可区分的，表示\(D_1\approx _s D_2\)。
（3）计算不可区分
对于任意可区分分布\(D_1\)和\(D_2\)的概率多项式时间（PPT）算法A，若\(|Pr[A(1^n,D_1)=1]-Pr[A(1^n,D_2)=1]|\leq negl(n)\)，则称\(D_1\)和\(D_2\)是计算不可区分的，表示\(D_1\approx _c D_2\)
（4）分布不可区分