分圆多项式（cyclotomic polynomial）

最近论文中经常遇到分圆多项式，现在系统的学习一下！

本原单位根#

之前介绍n次单位根，现在详细学习一下n次本原单位根（n-th primitive unit root）

一个复数是n次单位根，当且仅当具有以下性质：

$$cos(k2\pi /n)+isin(k2\pi /n)$$

由于:

$$cos(k2\pi /n)+isin(k2\pi /n)=(cos(2\pi /n)+isin(2\pi /n){)}^k$$

故若令

$$\zeta =cos(2\pi /n)+isin(2\pi /n$$

则一个复数是n次单位根。当且仅当它是$\zeta$的整数次方，由此可见，所有的n次单位根在乘法下作成一个循环群，其中$\zeta$是该循环群的生成元。

当取$k=0,1,2,3...,n-1$时，我们可以得到n个n次单位根：

$$1,{\zeta }^1,{\zeta }^2,...,{\zeta }^{n-1}$$

性质：
1、若用平面上的点代表复数，把这n个单位根的点用线连接起来便是单位圆的一个内接正n变形。
2、这n个n次单位根都不同
3、${\zeta }^n=1$

总结一下：
1、复数域中恰好有n个n次单位根，它们在乘法下作一个n元循环群
2、其中$\zeta$是该循环群的一个生成元，这n元循环群的生成元素成为n次本元单位根
3、n元循环群共有$\phi (n)$个生成元素，所有共有$\phi (n)$个n次本原单位根

定义#

假设$\phi (n)$个n次本原单位根是${\zeta }_1,{\zeta }_2,...,{\zeta }_{\phi (n)}$。
则${\varphi }_n(x)=(x-{\zeta }_1)(x-{\zeta }_2)...(x-{\zeta }_{\phi (n)})$成为分圆多项式。
1、n=1时，生成元$cos(2\pi /n)+isin(2\pi /n)=1$，即$\phi (1)=1$，故${\varphi }_1(x)=x-1$

更多的参考下main的举例！

还有一种定义法，后面再学习吧！

举例#

应用#

在同态加密中，用到最多的一个性质是：

$${\varphi }_{2^h}(x)=x^{2h-1}+1$$

，所以对于一个2的幂次$N=2^k$，所谓的第2N个分圆多项式就是指:

$${\varphi }_{2N}(X)=X^N+1$$

参考#

1、分圆多项式 cyclotomic polynomial
2、分圆多项式的性质