n次单位根（n-th unit root）

最近在看CKKS方案，里面的编码/解码用到了n次单位根，感觉基于环上的加密，很多都会用到，现在系统的学习一下！
内容来自：n次单位根

定义#

先看定义：

$$z^n=1，(n=1,2,3,...)$$

该方程的根z为n次单位根，就是说这些根是复数！
简单说：n次方根，就是多项式$x^n-1$或方程$x^n-1=0$在复数域内的n个不同的根，简称单位根
具体来讲，单位根有n次根的有n个：$$z_i=e^{2\pi ki/n},(k=0,1,2,..,n-1)$$
复数域内：$$x_k=cos(2k\pi /n)+sin(2k\pi /n)I,(k=0,1,2,..,n-1),i\mathrm{是}\mathrm{虚}\mathrm{数}\mathrm{单}\mathrm{位}$$

举个例子：

其中提到了“本原根”，后面再去单独介绍！

性质#

1、对于方程$x^n-1=0$，不同的我单位根只有n个
例如：取k=0,1,2,..,n-1，就得到n个不同的n次单位根
取$k=q\ast n+m,(q\in {\mathbb{Z}}^{+},m=(0,1,...,n-1))$时，$x_k=x_{q\ast n+m}=x_m$

2、n次单位根的模为1，即$|x_k|=1$

3、两个n次单位根（$x_i,x_j$）的乘积，仍是一个n次单位根$w_i\ast w_j=W_{i+j}$，则：
（1）$(x_i{)}^{-1}=x_{-I}$

（2）$(x_m{)}^k=x_{m\ast k}$，（m，k是任意整数，当k=0时，$(x_m{)}^0=1=x_0$）

（3）$x_m=x_l$：需要gcd(m,l)=1

（4）任何一个单位根都可以写为$x_1$的幂，如$x_m=(x_1{)}^m$，这种根叫做n次本原单位根（n-th primitive unit root），简称n次原根或原根。当p和n互素且$1⩽p<n$时，$x_1^p$都是n次本原单位根

（5）一个n次单位根的共轭复数也是一个n次单位根，记 $\bar{x}=x_{n-m}$

（6）对于任意的l和r，都有$(x_i{)}^r=(x_r{)}^l$

（7）若a是整数，则

$$1+x_1^a+x_2^a+...+x_{n-1}^a=\{\begin{array}{c}\\ n,gcd(a,n)=1\\ \\ \\ 0,gcd(a,n)\ne 1\end{array}$$

（8）全部单位根把复数平面的单位圆周(|z|=1)n等分了，构成了外接圆半径为1的正n边形的顶点，其中一个顶点为 $x_0(1,0)$