算法的计算复杂性

计算复杂度#

　　计算复杂度由算法决定，一个数学问题通常可同时有多个解决算法，而计算复杂度可表述算法的复杂程度，在密码设计和密码分析中具有重要作用。计算复杂性理论不仅反映密码破译的固有困难性，评测密码算法对抗密码破译的实际能力，还能为不同密码算法实现难度的分析与比较提供了方法。

　　算法复杂度一般由执行算法所需要的计算时间T（时间复杂度）和计算空间S（空间复杂度）来度量，它们通常可以表示成输入规模$\lambda$的函数。在分析算法的复杂度时，通常用$\mathrm{O},\tilde{\mathrm{O}},o,\mathrm{\Theta }$四种方式表示它们之间的渐近程度。

　　算法的复杂度通常指时间复杂度，通常分为以下 3类：多项式时间算法复杂度，亚指数时间算法复杂度和指数时间算法复杂度，三个算法时间复杂度是递增的。若存在常数$a,n_0$，当$a>n_0$时，满足，则称算法的时间复杂度为$T(n)<af(\lambda )$。

多项式时间算法#

　　假设$\lambda$是输入规模，k 为常数，如果执行此算法的时间复杂度为$\mathrm{O}({\lambda }^k)$，则称该算法是一个多项式时间算法

计算复杂度理论中，多项式时间算法被认为是简单的算法。对于一个问题，如果存在多项式时间的解决算法，那么该问题不是一个计算困难问题。

指数时间算法#

　　如果执行此算法的时间复杂度为$\mathrm{O}(t^{f(\lambda )})$，其中 t 为大于１的常数，此时，若 $f(\lambda )$是关于$\lambda$的一个多项式函数，则称该算法为指数时间算法。

若解决该问题的算法均是指数时间的算法，那么该问题是计算困难问题。

亚指数时间算法#

　　若$f(\lambda )$是一个大于常数小于$\lambda$的线性多项式的函数，则称该算法为亚指数时间算法。

介于多项式时间算法和指数时间算法之间的是亚指数时间算法，本文所涉及到的近似最大公因子问题和错误学习问题，目前还不存在相应的亚指数时间算法用于求解上述两类问题。

可忽略函数#

可忽略函数是一个极小量，在计算复杂度理论和全同态加密的安全性定义中应用广泛。