求逆元

求整数上乘法逆元

求 7 关于 26 的逆元！

扩展欧几里得算法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//欧几里得函数
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d) {
        if (!b) {
                d = a, x = 1, y = 0;
        } else {
                exgcd(b, a % b, y, x, d);
                y -= x * (a / b);
        }
}
int inv(int t, int p) {                  //返回t对p的逆元
        int d, x, y;
        exgcd(t, p, x, y, d);
        return (x % p + p) % p;        //x可能为负，也可能过大
}

int main() {
        int m = 7, n = 26;
        printf("%d", inv(m, n));
        return 0 ;
}

或者

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
int getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    int x,y;
    int d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
int main() {
        int m = 7, n = 26;
        printf("%d", getInv(m, n));
        return 0 ;
}　

手算　

方法1:辗转相除法

求7关于26的逆元，即$7^{-1}$：

设 $7^{-1}$为 X，即7 * X = 1 mod 26 ，求 X 即可

26 / 7 = 3  余 5

7 / 5 = 1 余 2

5 / 2 = 2 余 1

---

则：

1 = 5 - 2 * 2

1 = 5 - 2 * (7 - 5 * 1) = 3 * 5 - 2 * 7

1 = 3 * (26 - 3 * 7) - 2 * 7=  3 * 26 - 11 * 7

故$7^{-1}$ = -11，由于 -11 不在Z_q中，故$7^{-1}$  = 26 - 11 = 15

方法2

参考：链接

（1）原理

首先对余数进行辗转相除：
N = A * a0 + r0
A = r0 * a1 + r1
r0 = r1 * a2 + r2
r1 = r2 * a3 + r3
…
rn-2 = rn-1 * an + rn
rn-1 = rn * an+1 + 0

对上面的商数逆向排列（不含余数为0的商数）：

其中：

b-1 = 1
b0 = an
bi = an-1 * bi-1 + bi-2
商个数为偶数，则bn即为所求的逆元B；
商个数为奇数，则N-bn即为所求的逆元B

（2）举例

求7关于26的逆元：

辗转相除法：

26 = 3 * 7 + 5

7 = 1 * 5  + 2

5 = 2 * 2 + 1

---

因为商的个数为奇数，故 7^-1 = 26 - 11 = 15

方法3:Bezout恒等式

（1）原理

用矩阵行初等变换的方法求Bezout，进而求逆元

参考：链接

方法4:扩展欧几里得算法

参考：求逆元算法实现 求逆元

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

//递归求解
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    int x2 = x, y2 = y;
    x = y2;
    y = x2 - (a / b) * y2;
    return gcd;
}

//非递归求解
int exgcd01(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int x1, y1, x0, y0;
    x0 = 1; y0 = 0;
    x1 = 0; y1 = 1;
    x = 0; y = 1;
    int r = a % b;
    int q = (a - r) / b;
    while (r)
    {
        x = x0 - q * x1; y = y0 - q * y1;
        x0 = x1; y0 = y1;
        x1 = x; y1 = y;
        a = b; b = r; r = a % b;
        q = (a - r) / b;
    }
    return b;
}

int main()
{
    int x, y, a, b,option;
    cout << "扩展欧几里得算法" << endl;
    cout << endl << "请选择：1、递归求解；2、非递归求解" << endl;
    cin >> option;
    if (option == 1)
    {
        cout << "请输入a和b:" << endl;
        cin >> a >> b;
        cout << "a和b的最大公约数:" << endl;
        cout << exgcd(a, b, x, y) << endl;
        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:" << endl;
        cout << x << " " << y << endl;
    }
    else if (option == 2)
    {
        cout << "请输入a和b:" << endl;
        cin >> a >> b;
        cout << "a和b的最大公约数:" << endl;
        cout << exgcd01(a, b, x, y) << endl;
        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:" << endl;
        cout << x << " " << y << endl;
    }
    else
        cout << "请重新输入！" << endl;
    return 0;
}

费马小定理

该方法速度非常快

（1）原理

（2）代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
　　int m, n, x;
    puts("基于费马定理求逆元\n");
    puts("对m * x = 1 mod n，求x\n");
    printf("请输入m=");
    scanf("%d", &m);
    printf("请输入n=");
    scanf("%d", &n);
　　x = (int)pow(m, n - 2) % n;
　　printf("x=%d\n", x);
　　system("pause");
　　return 0;
}

大数求逆元

使用miracl库

int main()
{
	/*求m的逆元n,即m.n=1 mod p*/
	printf("求m的逆元n,即m.n=1 mod p\n\n");
	miracl* mip = mirsys(MAX_D + 10, 10);
	big p = mirvar(0);
	big m = mirvar(0);
	big n = mirvar(0);
	big one = mirvar(0);
	char one_0[2] = { "1" };
	cinstr(one, one_0);
	printf("请输入（m，p）：\n");
	cinnum(m, stdin);
	cinnum(p, stdin);
	xgcd(m, p, n, n, one);
	printf("\n输出n:");
	cotnum(n, stdout);

	mirexit();
	system("pause");
	return 0;
}

多项式的乘法逆元

Bezout恒等式

（1）原理：用矩阵行初等变换的方法求Bezout，进而求逆元

设a , b ∈ Z ，则a , b的最大公约数可以表示为：
g c d ( a , b ) = d = s a + t b

把d = s a + t b称作Bezout恒等式。

更多Bezout恒等式请参考：链接

（2）矩阵的行初等变换求解Bezout恒等式

这里以一个具体的实例来说明,求g c d ( 5 , 177 )：

1、先把欲求的两个数写成如下的矩阵形式,即是以5和17为第一列，后面拼一个单位矩阵。

2、将上述矩阵行初等变换至5和17这两个位置任意一个为0即可，另一个位置的值就是a和b的最大公约数。

3、得到Bezout恒等式,上述两个*位置表示这个问题中，不需要关注那两个位置的值
1 = 177 ∗ − 2 + 71 ∗ 5

4、如果最大公约数为1,则可以方便的看出其中一个元素的逆元。上式两端同时模177
71 ∗ 5 ≡ 1 m o d 177

5、这样就得到71和5在Z ₁₇₇ 中 的 逆 元，即5相对于177的逆元是71

（3）求解$GF(2^8)$上的多项式乘法逆元

求通过不可约多项式x ⁸ + x ⁴ + x ³ + x + 1构造$GF(2^8)$上$(09)_H$​在上的乘法逆元。

1.$(09)_H​$转换为多项式

$(09)_H​$= 00001001 = x ³ + 1

2.求x ³ + 1在x ⁸ + x ⁴ + x ³ + x + 1上的逆元,构造矩阵

 

3.行初等变换至标准形式(注意合并多项式的时候系数是模2加法)

4.具体的变换步骤，这里就不详细展开，但给出变换的顺序

• r ₁ − x ⁵ r ₂
• r ₁ − x ² r ₂
• r ₁ − x r ₂
• r ₁ − r ₂
• r ₂ − x r ₁
• r ₁ − x ² r ₂

 

5.最后得到：

即：1 = x.m(x) + (x⁶ + x³ + x² + x + 1).( x³ + 1)

6.显然x ³ + 1的逆元为x ⁶ + x ³ + x ² + x + 1 ，转换为2进制表示01001111，16进制表示$(4F)_H$

辗转相除法

求：$(x+x^2)^{-1}_(1+x+x^2)=1+x$

参考

1、扩展欧几里得算法

2、算法学习 之 欧几里得算法和扩展欧几里得算法（二）