随笔分类 -  数学

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摘要:蒙哥马利模乘运算(Montgomery Modular Multiplication)[1]与蒙哥马利幂模运算(Montgomery power module)和蒙哥马利约减运算(Montgomery model reduction)统称蒙哥马利算法(Montgomery Algorithm)。 蒙 阅读全文
posted @ 2023-05-11 10:43 PamShao 阅读(2789) 评论(0) 推荐(2) 编辑
摘要:Mac安装NTL库 NTL是一个高性能、可移植的C++库,为任意长度的整数提供数据结构和算法;用于整数和有限域上的向量、矩阵和多项式;以及任意精度的浮点运算。 具有以下功能: 任意长度整数运算和任意精度浮点运算; 整数和有限域上的多项式算术,包括基本算术、多项式分解、不可约判定、最小多项式计算、迹线 阅读全文
posted @ 2022-10-03 16:03 PamShao 阅读(645) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:素域(prime field) 有限域也叫伽罗瓦域(galois field),指的是由有限个元素组成的集合,在这个集合内可以执行加、减、乘和逆运算。 而在密码学中,我们只研究拥有有限个元素的域,也就是有限域。 域中包含元素的个数称为域的阶。 只有当m是一个素数幂时,即m=pn(其中n 阅读全文
posted @ 2022-08-01 16:23 PamShao 阅读(5603) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:本原根 本原根/原根/生成元 从定义能看出,求本原根就是给定m,求a。 a模p的阶 如果a不被素数p整除,则ap的阶是指使得ae=1modp的最小指数e>=1。 例如2、3、4、5、6模7的阶分别是3、6、3、6、2,记\(O 阅读全文
posted @ 2022-07-18 18:53 PamShao 阅读(5803) 评论(4) 推荐(1) 编辑
摘要:今天开始,系统学习庄金成老师讲授的《公钥密码学数学基础(上)》 需要用到两个数学工具:NTL 和 sage ##整数 ###整除 B%A=0,就是B除A没有余数,B可以被A整除,或者A整除于B,记A|B,B是A的倍数,A是B的除数(约数、因子) 这里整除的几何意义,举一个现实的例子"A刚好能丈量 阅读全文
posted @ 2022-04-16 08:48 PamShao 阅读(1126) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:本节介绍多项式的计算:求逆、计算,以及多项式上的CRT,主要参考:多项式也有CRT么? ##多项式 有理数系数的多项式: 即系数来自一个"域(field)",可以做加减乘法(除0外)。 ###多项式的带余除法 ###多项式的整除 ###不可约多项式 如果多项式的因子只有自身和1,就称之为是一个不可约 阅读全文
posted @ 2022-04-13 10:13 PamShao 阅读(323) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:在Seal库和HElib库中都用到了NTT技术,用于加快多项式计算,而NTT又是FFT的优化,FFT又来自于DFT,现在具体学习一下这三个技术! 基础概念 名词区分 1、DFT:离散傅立叶变换 2、FFT:快速傅立叶变换 3、NTT:快速数论变换 4、MTT:NTT的扩展 5、多项式卷积:多项式乘法 阅读全文
posted @ 2022-03-09 17:05 PamShao 阅读(2046) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:最近论文中经常遇到分圆多项式,现在系统的学习一下! ##本原单位根 之前介绍n次单位根,现在详细学习一下n次本原单位根(n-th primitive unit root) 一个复数是n次单位根,当且仅当具有以下性质: cos(k2π/n)+isin(k2π/n) 由于: \( 阅读全文
posted @ 2022-03-07 11:15 PamShao 阅读(3415) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:研一的时候学过近世代数,几乎没学到什么,后续自学一遍还是半知半懂,总结在【近世代数】这里了,现在再次回顾提炼一下要点! ##集合(set) 一个集合G表示一组数据 有限集合:G={g1,g2,...,gn},|G|=n 无穷集合:\(G=\left\{ 阅读全文
posted @ 2022-03-05 16:07 PamShao 阅读(939) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:最近在看CKKS方案,里面的编码/解码用到了n次单位根,感觉基于环上的加密,很多都会用到,现在系统的学习一下! 内容来自:n次单位根 定义 先看定义: zn=1(n=1,2,3,...) 该方程的根z为n次单位根,就是说这些根是复数! 简单说:n次方根,就是多项式xn1或方程$x 阅读全文
posted @ 2022-02-18 19:27 PamShao 阅读(5860) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:什么是Sage? Sage是免费的、开源的数学软件,支持代数、几何、数论、密码学、数值计算和相关领域的研究和教学。 可以简单看成一个数学库 下载 国内地址 安装 Windows下安装 下载安装程序即可 时间有点长! Linux下安装 准确点是Centos下 1、下载 国内地址 2、解压 tar zx 阅读全文
posted @ 2022-01-06 23:11 PamShao 阅读(7879) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:离散高斯分布 高斯分布(Gaussian Distribution)是随机分布中常见的一种,又叫做正态分布(Normal Distribution),源于误差分布,所以当我们对数据的分布模糊时,可以优先使用高斯分布近似或精确描述。 随机变量X服从高斯分布,即$X\sim N(\mu,\rho^2 阅读全文
posted @ 2021-09-08 16:41 PamShao 阅读(5919) 评论(3) 推荐(0) 编辑
摘要:点积 就是内积/数量积,算出的是一个数 向量内积 两个向量的长度应相同! 例如: 矩阵内积 两个矩阵A、B对应分量乘积之和,结果为一个标量,记作<A,B>(与向量的内积的定义相似),所以A、B的行数列数都应相同。 举例: 张量积 又叫作 向量外积/叉积/向量积 向量张量积 例如: 矩阵张量积 例如: 阅读全文
posted @ 2021-09-08 15:47 PamShao 阅读(1045) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:复习中国剩余定理(CRT) 起源 在《孙子算经》中的“物不知数”的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。 问题转换为求解方程组: $$\left{\ 阅读全文
posted @ 2021-07-09 10:23 PamShao 阅读(797) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:来源:Matrix67 什么是时间复杂度? 关键字:多项式级复杂度 时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间,而是当问题规模扩大后,程序需要的时间长度增长得有多快。也就是说,对于高速处理数据的计算机来说,处理某一个特定数据的效率不能衡量一个程序的好坏,而应该看当这个数据的规模变大到数百倍后 阅读全文
posted @ 2021-03-08 15:42 PamShao 阅读(783) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:3.1: 阅读全文
posted @ 2020-12-05 22:02 PamShao 阅读(151) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:积分公式 源自:2019宇哥高数18讲 球坐标 阅读全文
posted @ 2020-11-21 21:36 PamShao 阅读(413) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:定义 对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) φ(x) = x (1 - 1/p(1) )(1 - 1/p(2) )(1 - 1/p(3) )(1 - 1/p(4) )…..(1 - 1/p(n) ) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数、x是正整数、 阅读全文
posted @ 2020-10-02 17:01 PamShao 阅读(274) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:求整数上乘法逆元 求 7 关于 26 的逆元! 扩展欧几里得算法 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> //欧几里得函数 void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d) { if (!b) { d = a, x 阅读全文
posted @ 2020-09-24 10:28 PamShao 阅读(2329) 评论(11) 推荐(0) 编辑
摘要:最大公约数 链接 如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数。 整除 若整数b除以非零整数a,商为整数,且余数 为零, 我们就说b能被a整除(或说a能整除b),b为被除数, 阅读全文
posted @ 2020-03-30 16:51 PamShao 阅读(2918) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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