几大分布函数
目录
1、0-1分布(两点分布、伯努利分布)
2、几何分布
3、二项分布
4、高斯分布(正态分布)
5、卡方分布 (chi-square distribution)
6、t分布
- 6.1 置信区间
- 6.2 例题
7、泊松分布
8、指数分布
9、F分布
1、0-1分布
单个二值型离散随机变量的分布,概率分布函数:
2、几何分布
离散型概率分布,定义为:n次伯努利试验中,试验k次才能得到一次成功的机率。即前k-1次皆失败,第k次成功的概率。
概率分布函数:
3、二项分布
n次伯努利试验,各次试验之间相互独立,每次试验只有两种可能(抛硬币),相互对立。设事件发生的概率是P,不发生的概率是1-P,n次重复独立试验中发生K次的概率:
4、高斯分布(正态分布)
随机变量X服从数学期望为μ,方差为σ2的正态分布,记为N(μ,σ2)。
μ决定正态分布的位置。
标准差决定正态分布的幅度。
性质:
标准正态分布:μ=0,σ=1。
性质:
Φ(x)=1-Φ(-x)
5、卡方分布
(chi-square distribution)
若n个相互独立的随机变量ξ₁,ξ₂,...,ξn ,均服从标准正态分布N(0,1)(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布(chi-square distribution)。
随机变量 :
记为:
其中参数
称为自由度,自由度不同就是另一个
分布。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布,当自由度 很大时,
分布近似为正态分布。
性质:
6、t分布
正态分布是许多统计方法的理论基础。μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便,常将一般的正太变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态分布N(0,1),使原来各种形态的正态分布都转换成了μ=0,σ=1的标准正态分布,也称为u分布 。
根据中心极限定理,通过抽样模拟试验表明,在正态分布总体以固定n抽取若干个样本时,样本均数的分布仍然服从正态分布N(μ, )。所以对样本均数(均值)的分布进行u变换,也可以变换为标准正态分布。
实际工作中,σ2(总体方差)是未知的,所以常用s作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换。
统计量t值的分布称为t分布。假设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),Y服从 分布,那么
的分布称为自由度为n的t分布,记为
可以看出t分布以0为中心,左右对称的单峰分布;
t分布式一簇曲线,形态变化与n(确切的说自由度v)大小有关,自由度越小,t分布越低平;自由度越大,t分布曲线越接近标准正态分布(u分布)。
6.1 置信区间
已知X~N(μ,1)找一个区间,使得包含μ的真值的概率为95%,假n=5,则:
~ N(μ,
) ~ N(μ,1/5)
α = 1 - 95% = 0.05
查表得:
查表的方法:直接在标准正态分布表里面找概率 = 1-α/2 时的 z 取值。
含义:正态分布左侧的面积(概率)为0.975时候的横坐标值。(上分位)
Z1-α/2:是下分位表示,意思是右侧面积为0.975。
注意:置信区间双侧检验,所以要α/2.
称随机区间为参数μ的置信度为95%的置信区间。
(1)已知总体方差,求总体均值的置信区间
是总体样本均值;
α是显著水平(1-置信度),若置信度是95%,则α=1-0.95=0.05;
Zα/2称为Z值,可以查找标准正态分布表得到;(z(a/2)指的是标准正态分布的双侧临界值,z(a)当然就是单侧临界值)σ:总体的标准差;
n:抽样出来的样本个数;
:样本的标准误差
(2)未知总体方差,求总体均值μ的置信区间
tα/2(n-1)称为t值,通过查t分布表得到(tα/2(n-1) = t1-α/2(n-1));
S:样本的标准差
:样本的平均误差
6.2 例题
7、泊松分布
日常生活中,大量事件是有固定频率的,特点是我们可以预估这些事件的总数,但是没法知道具体的发生时间。比如我们知道平均1小时生3个婴儿,请问下一个小时会出生几个?
泊松分布就是描述某段时间内,事件具体的发生概率:
其中,P表示概率,N(t)表示某种函数关系,t是事件,n是数量。一个小时内出生3个婴儿的概率表示为P(N(1)=3),λ表示事件的频率。
比如接下来两个小时,一个婴儿都不出声的概率为:
接下来一个小时,至少出生两个婴儿的概率:
8、指数分布
事件的时间间隔的概率,无记忆性。
例如婴儿出生的时间间隔,网站访问的时间间隔。。。。
指数分布可以从泊松分布推到出来,如果下一个婴儿要间隔时间t,就等同于t内没有任何婴儿出生:
9、F分布