平衡二叉树AVL

可以是空树。

性质：

任何父节点的左右子树深度差<=1；

BF平衡因子=左子树深度-右子树深度，则所有节点平衡因子-1,0,1；

 

有些BST初始序列或者插入后对BST的影响，导致可能出现下面这种情况，将导致我们的二叉排序树的效率大大降低：

为了避免这种情况的发生，我们希望可以有一种算法，将我们的不平衡的二叉排序树转化为平衡二叉排序树。这样就可以让我们的二叉排序树结构最优化。

 

上图中a是，b不是。

为什么需要平衡二叉树？

平衡二叉树上的任何一个结点左右字数的深度之差都不会超过1，则可以证明它的深度和logn是同数量级的，所以其平均查找长度也和logn同数量级。

但是事于愿违有些二叉排序树的插入,或者初始序列由于其插入的先后顺序等缘故，将导致我们的二叉排序树的效率大大降低。如下图 ：

 

为了避免这种情况的发生，我们希望可以有一种算法，将我们的不平衡的二叉排序树转化为平衡二叉排序树。这样就可以让我们的二叉排序树结构最优化。

a是AVL;

b也是；

c也是；

d不是，平衡因子出现了-2，将-2逆时针旋转（单向左旋平衡处理）得到e；

e是；

f不是，先将53顺时针旋转变成g，再将53逆时针旋转得到h；（双向旋转（先右后左）平衡处理）

如何证明我们插入的正确性：中序遍历所得关键字的值序列从小到大即可（二叉排序树的性质）

那么如何创建一颗平衡二叉树呢？

创建平衡二叉树，我们采用依次插入节点e的方式进行。

而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。

1、若空树，将e作为根节点，高度+1；

2、若要e==根节点，不插入；

3、e<root && 左子树种≠e，插入到左子树中，深度+1；

• 若root平衡因子-1，左浅右深，root左旋，root平衡因子变为0，BBST深度不变；
• root平衡因子0，root平衡因子改为1，BST深度+1；
• root平衡因子1，左深右浅。
  • 若左子节点平衡因子1，右旋，根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0，树的深度不变；
  • 若左子节点平衡因子-1，先左旋，后右旋，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

 

4、e>root && 右子树中≠e，插入到右子树中，深度+1；

• 若root平衡因子1，左深右浅，右旋，root改为0，深度不变；
• 若root平衡因子0，将root改为-1，不用旋，树深度+1；
• 若root平衡因子-1，左浅

（4）若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入到BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度加1时，分别就不同的情况处理之。

• BBST的根节点的平衡因子是1（左子树的深度大于右子树的深度）：则将根节点的平衡因子修改为0（右旋），BBST的深度不变；

• BBST的根节点的平衡因子是0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为-1（不用旋），树的深度加1；

• BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行两次选择，第一次先向右旋转，再向左旋转处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变； 
  若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行一次单向左的旋转处理，并且在左旋之后，更新根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；