激活函数

什么是激活函数？

上一层节点的输出和下一层节点的输入之间有个函数关系，这个函数就是激活函数。

激活函数的用途（为什么需要激活函数）？

不用激活函数，输出都是输入的线性组合，网络的逼近能力有限，所以用非线性函数作为激励函数，就能使得神经网络的表达能力更强。（不再是线性组合，几乎可以逼近任意函数）

有哪些激活函数，都有什么性质和特点？

早期研究神经网络主要采用sigmoid函数或者tanh函数，输出有界，很容易充当下一层的输入。
近些年Relu函数及其改进型（如Leaky-ReLU、P-ReLU、R-ReLU等）在多层神经网络中应用比较多。下面我们来总结下这些激活函数：

Sigmoid函数

Sigmoid 是常用的非线性的激活函数，它的数学形式如下：

Sigmoid的几何图像如下：

特点：它能够把输入的连续实值变换为0和1之间的输出，特别的，如果是非常大的负数，那么输出就是0；如果是非常大的正数，输出就是1.
缺点：
缺点1：梯度爆炸和梯度消失，其中梯度爆炸发生的概率非常小，而梯度消失发生的概率比较大。首先来看Sigmoid函数的导数，如下图所示：

sigmoid函数导数最大才1/4，梯度反向传播的时候，每层都会减少，如果隐藏层很多，梯度会接近0，出现梯度消失。如果网络权值初始化为 (1,+∞)，会出现梯度爆炸。

缺点2：不是原点对称，输出不是0均值的，因为输出都是大于0的，这样输出的信号输入到下一层节点，如果求得的w的梯度为正，那么w就都往正方向更新，要么都往负方向更新，会造成一种捆绑效果，使得收敛缓慢。当然了，如果按batch去训练，那么那个batch可能得到不同的信号，所以这个问题还是可以缓解一下的。因此，非0均值这个问题虽然会产生一些不好的影响，不过跟上面提到的梯度消失问题相比还是要好很多的。

缺点3：其解析式中含有幂运算，计算机求解时相对来讲比较耗时。对于规模比较大的深度网络，这会较大地增加训练时间。

tanh函数

tanh函数解析式：

tanh函数及其导数的几何图像如下图：

tanh读作Hyperbolic Tangent，它解决了Sigmoid函数的不是zero-centered输出问题，然而，梯度消失（gradient vanishing）的问题和幂运算的问题仍然存在。

Relu函数

Relu函数的解析式：

Relu函数及其导数的图像如下图所示：

ReLU函数其实就是一个取最大值函数，注意这并不是全区间可导的，但是我们可以取sub-gradient，如上图所示。ReLU虽然简单，但却是近几年的重要成果，有以下几大优点：
1） 解决了gradient vanishing问题 (在正区间)
2）计算速度非常快，只需要判断输入是否大于0
3）收敛速度远快于sigmoid和tanh

ReLU也有几个需要特别注意的问题：
1）ReLU的输出不是zero-centered
2）Dead ReLU Problem，指的是某些神经元可能永远不会被激活，导致相应的参数永远不能被更新。有两个主要原因可能导致这种情况产生: (1) 非常不幸的参数初始化，这种情况比较少见 (2) learning rate太高导致在训练过程中参数更新太大，不幸使网络进入这种状态。解决方法是可以采用Xavier初始化方法，以及避免将learning rate设置太大或使用adagrad等自动调节learning rate的算法。

尽管存在这两个问题，ReLU目前仍是最常用的activation function，在搭建人工神经网络的时候推荐优先尝试！

Leaky ReLU函数（PReLU）

Leaky Relu函数及其导数的图像如下图所示：

人们为了解决Dead ReLU Problem，提出了将ReLU的前半段设为αx \alpha xαx而非0，通常α=0.01 \alpha=0.01α=0.01。另外一种直观的想法是基于参数的方法，即ParametricReLU:f(x)=max(αx,x) Parametric ReLU:f(x) = \max(\alpha x, x)ParametricReLU:f(x)=max(αx,x)，其中α \alphaα
可由方向传播算法学出来。理论上来讲，Leaky ReLU有ReLU的所有优点，外加不会有Dead ReLU问题，但是在实际操作当中，并没有完全证明Leaky ReLU总是好于ReLU。

ELU (Exponential Linear Units) 函数

ELU也是为解决ReLU存在的问题而提出，显然，ELU有ReLU的基本所有优点，以及：

不会有Dead ReLU问题
输出的均值接近0，zero-centered

它的一个小问题在于计算量稍大。类似于Leaky ReLU，理论上虽然好于ReLU，但在实际使用中目前并没有好的证据ELU总是优于ReLU。

MaxOut函数

这个函数可以参考论文《maxout networks》，Maxout是深度学习网络中的一层网络，就像池化层、卷积层一样等，我们可以把maxout 看成是网络的激活函数层，我们假设网络某一层的输入特征向量为：X=（x1,x2,……xd），也就是我们输入是d个神经元。Maxout隐藏层每个神经元的计算公式如下：

上面的公式就是maxout隐藏层神经元i的计算公式。其中，k就是maxout层所需要的参数了，由我们人为设定大小。就像dropout一样，也有自己的参数p(每个神经元dropout概率)，maxout的参数是k。公式中Z的计算公式为：

权重w是一个大小为(d,m,k)三维矩阵，b是一个大小为(m,k)的二维矩阵，这两个就是我们需要学习的参数。如果我们设定参数k=1，那么这个时候，网络就类似于以前我们所学普通的MLP网络。
我们可以这么理解，本来传统的MLP算法在第i层到第i+1层，参数只有一组，然而现在我们不这么干了，我们在这一层同时训练n组的w、b参数，然后选择激活值Z最大的作为下一层神经元的激活值，这个max（z）函数即充当了激活函数。

应用中如何选择合适的激活函数？

这个问题目前没有确定的方法，凭一些经验吧。
1）深度学习往往需要大量时间来处理大量数据，模型的收敛速度是尤为重要的。所以，总体上来讲，训练深度学习网络尽量使用zero-centered数据 (可以经过数据预处理实现) 和zero-centered输出。所以要尽量选择输出具有zero-centered特点的激活函数以加快模型的收敛速度。
2）如果使用 ReLU，那么一定要小心设置 learning rate，而且要注意不要让网络出现很多 “dead” 神经元，如果这个问题不好解决，那么可以试试 Leaky ReLU、PReLU 或者 Maxout.
3）最好不要用 sigmoid，你可以试试 tanh，不过可以预期它的效果会比不上 ReLU 和 Maxout.