HDU 5667 Sequence 矩阵快速幂+费马小定理

题目不难懂。式子是一个递推式，并且不难发现f[n]都是a的整数次幂。(f[1]=a⁰;f[2]=a^b;f[3]=a^b*f[2]^c*f[1]...)

我们先只看指数部分，设h[n]. 则

h[1]=0;

h[2]=b;

h[3]=b+h[2]*c+h[1];

h[n]=b+h[n-1]*c+h[n-1].

h[n]式三个数之和的递推式，所以就可以转化为3x3的矩阵与3x1的矩阵相乘。于是

 h[n]　　　　 　 c  1  b　　　　h[n-1]

h[n-1]　　=　　1  0  0　　*　 h[n-2]　

   1　　　　       0  0  1　　　　   1

又根据费马小定理(a^p-1%p=1,p是质数且a,p互质)可得：a^h[n]%mod=a^h[n]%(mod-1)%mod.

因为 a^h[n]%mod= a^{x*(mod-1)+h[n]%(mod-1)}%mod = a^x*(mod-1)*a^h[n]%(mod-1)%mod = a^h[n]%(mod-1)%mod;

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll p;
struct Mat
{
    ll mat[3][3];
};
Mat Multiply(Mat a, Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
    for(int k = 0; k < 3; ++k)
        for(int i = 0; i < 3; ++i)
            if(a.mat[i][k])
                for(int j = 0; j < 3; ++j)
                    if(b.mat[k][j])
                        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] +a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%(p-1);
    return c;
}
Mat QuickPower(Mat a, ll k)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i = 0; i <3; ++i)
        c.mat[i][i]=1;
    for(; k; k >>= 1)
    {
        if(k&1) c = Multiply(c,a);
        a = Multiply(a,a);
    }
    return c;
}
ll Powermod(ll a,ll b)
{
    a%=p;
    ll ans=1;
    for(; b; b>>=1)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    ll n,a,b,c;
    Mat x;
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&b,&c,&p);
        if(n==1)
            printf("1\n");
        else if(n==2)
            printf("%I64d\n",Powermod(a,b));
        else
        {
            x.mat[0][0]=c; x.mat[0][1]=1; x.mat[0][2]=b;
            x.mat[1][0]=1; x.mat[1][1]=0; x.mat[1][2]=0;
            x.mat[2][0]=0; x.mat[2][1]=0; x.mat[2][2]=1;
            x=QuickPower(x,n-2);
            ll k=(x.mat[0][0]*b+x.mat[0][2]);
            printf("%I64d\n",Powermod(a,k));
        }
    }
    return 0;
}