信号与系统（拓展二）：无限集

无限集分为可数无限集和不可数无限集。可数集例如：自然数集、有理数集、证书集；不可数集例如：实数集。

无限集比大小方法：如果两个无限集A、B的元素之间存在一一对应关系，则认为A和B两个集合一样大。

Q1：自然数和偶数一样多（奇数同理）

对于任意自然数a_k，令a₀=0，b₀=0，a₁=1,都有偶数b_k=(-1)^ka_k+k%2与之一一对应。

对于任意自然数a_k，令a₀=0，b₀=0，a₁=1,都有奇数b_k=(-1)^ka_k+k%2-1与之一一对应。

Q2：自然数和整数一样多

对于任意自然数a_k，令a₀=0，b₀=0，a₁=1,都有偶数b_k=[(-1)^ka_k+k%2]/2与之一一对应。

Q3：自然数和有理数一样多

将有理数表示为m/n，m和n都是整数且n不等于0.

列表：

n\m	1	2	3	4	...
n=1	1/1=1	1/2	1/3	1/4
n=2	2/1=2	2/2=1	2/3	2/4=1/2
n=3	3/1=3	3/2	3/3=1	3/4
n=4	4/1=4	4/2=2	4/3	4/4=1
...

于是我们可以根据表，用一种折线排序法把有理数写成一个集和。每当遇到一个数在集和中已经存在时，跳过这个数。例如，根据上表我们得到的集和是：{1, 1/2, 2, 3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, ...}，再将这个集和和自然数集进行一一对应即可。

Q4：实数集比自然数集大（或实数集是不可数集）：

我们已知自然数集是可数集，只需证明实数集是不可数集即可。用反证法进行证明：

证明：

假设实数在(0, 1)上可数，则一定存在一个可数集合A{a₁, a₂, a₃, ..., a_n} (n->＋∞)，这个集合包括了(0, 1)上的所有实数。

现在构造一个实数a₀∈(0, 1)，令a₀小数点后的第k位和a_k的第k位不同(0<=k<=n)，则a₀与集合A中的任意一个实数都有至少一位不同，因此a₀不在集合A中。

因此不存在可数集合A，包括了(0, 1)上的所有实数，推广后可得不存在一个可数集合能够包括所有实数。

因此实数集是不可数集

Q5：对于平面直角坐标系xoy，x轴上的实数和整个平面上的实数一样多

要证明这个命题成立，需要证明：点集{(a_k, b_k)}和数集{c_k}之间存在一一对应关系。

证明：

对于平面上横纵坐标均大于0小于1的正方形区域，令实数a∈(0, 1)，b∈(0, 1)，c∈(0, 1)

对于该区域内的任意点(a, b)，可以构造出唯一确定的数c；对于该区域内的任意数，可以构造出唯一确定的点(a, b)

构造方法：

1. 已知a，b：若a有n位，b有m位，构造c有2*MAX(m, n)位。a和b的各位分别构成c的奇分位和偶分位。
2. 已知c：若c有n位，构造a，b有(n+n%2)/2位，c的奇分位和偶分位分别构成a和b的各位。

从该正方形区域推广到整个xoy平面即可。