信号与系统（拓展一）：勒贝格积分

1. 勒贝格关于函数相等的定义

如何定义两个函数f₁(t)和f₂(t)相等（即何时f₁(t)=f₂(t)）?我们在高中所学的定义是这样的：

f₁(t)和f₂(t)定义域相同，且对于定义域上任意的t₀，有f₁(t₀)=f₂(t₀)，则认为f₁(t)=f₂(t)。这意味着两个函数的图像是完全重合的。

然而勒贝格认为这个定义过于严谨（死板）了。他认为，如果f₁(t)和f₂(t)，在某一点t₀上是不同的，而在其他所有点上都相同，也可以认为f₁(t)=f₂(t)。那如果又有一个函数f₃(t)，仅和f₂(t)在点t₁上不同，即和f₁(t)在t₀和t₁上都不相同，我们也可以根据勒贝格的定义得到f₃(t)=f₂(t).又因为f₁(t)=f₂(t)，所以f₁(t)=f₃(t).因此，如果两个函数f₁(t)和f₃(t)在两个点上不相同，依然可以认为f₁(t)=f₃(t)。以此类推：三个点不同，四个点不同，......最终勒贝格给出的函数相等的定义是：f₁(t)和f₂(t)定义域相同，且在定义域上有且只有有限个点{t}，使得f₁({t})≠f₂({t})，则认为f₁(t)=f₂(t)。

由于有限个不连续点不影响积分结果，勒贝格将他的定义转化为数学语言，即：

若f₁(t)和f₂(t)定义域相同，且对于任意y(t)，有：

\[\int^{+\infty}_{-\infty}y(t)f_1(t)dt = \int^{+\infty}_{-\infty}y(t)f_2(t)dt \]

则认为f₁(t)=f₂(t)。

根据勒贝格的函数相等的定义，我们可以很好地证明冲激函数的多样性等性质。但在常规解题过程中，切忌用勒贝格的定义钻牛角尖。

2. 黎曼积分和勒贝格积分

黎曼积分就是现在高数教材里教的积分，把函数图像纵向切成若干个宽度接近无穷小的段，然后求面积和。勒贝格积分可以看作是横向切块再积分，解决了黎曼积分在对序列积分上的局限性问题。黎曼可积的函数，一定勒贝格可积；而勒贝格可积的函数，并不一定黎曼可积。例如下面这个函数：

\[\lambda(t) = \{ \begin{array}{rcl} 1 & , & 当t为有理数 \\ 0 & , & 当t为无理数 \end{array} \]

这个积分黎曼函数不可积，但是勒贝格可积，且积分结果为0.

以上是一些浅显的知识，如果我有幸更加深入了解勒贝格积分，会继续补充