信号与系统（二）：LTI系统

该部分在前半段的部分手写证明中错将δ写成φ，请见谅，等有空再改过来

LTI系统指线性时不变系统。该系统同时具备线性系统和时不变系统的性质，即齐次性、叠加性和时不变性。

对于一个LTI系统 x(t) -> y(t)，可以写成y(t) = x(t) * h(t)，即卷积运算（这里和编程语言中的乘号区分）。其中x(t)被称为单位脉冲序列。h(t)被称为单位脉冲响应。

h(t)是LTI系统的唯一标识：如果两个LTI系统的h(n)一样，则两个系统是一样的。

1. 冲激函数

首先定义冲激函数δ(t)和δ[n]。冲激函数具体表现为在t=0处，函数值无限逼近于正无穷，而冲激函数在定义域上的积分是1.冲激函数用图像有两种表示方法：

其中左图中的1表示该函数图像与x轴围成的面积（即其在定义域上的积分）为1.一种更好理解的画法是右图，当Δ->0时，1/Δ->+∞，但函数的积分始终是1.

有的书上可以看到另一种定义方法，其实质是一样的，后面会证明。

2. 离散LTI系统的卷积运算

解法一：列表法

1. 确定y[n] = x[n] * h[n] 的取值范围：[x[n]的最左边+h[n]的最左边, [x[n]的最右边+h[n]的最右边]
2. 列表

例如：对于如下x[n], h[n]，

列表：

x[n]\h[n]	1	1	2	-1
3	3	3	6	-3
2		2	2	4	-2
1			1	1	2	-1
-1				-1	-1	-2	1
求和	3	5	9	1	-1	-3	1

解法二：公式法

卷积公式：

\[x[n] \ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}{x[k]h[n-k]} \]

离散卷积公式推导：

将公式转化为以下形式：

\[x[n] \ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}{x[k]h[-(k-n)]} \]

从公式中可以看出计算过程设计四个步骤：

1. 确定取值范围
2. h[n]反转为h[-n]
3. x[n]照抄
4. 乘、加、移位

例如，对于上面那道题，先写出h[-n]和x[n]

h[-n]: -1 2 1 1

x[n] : 3 2 1 -1

if t == -2:
    -1 2 1 1
           3 2 1 -1
y[-2] = 1×3 = 3

if t == -1:
    -1 2 1 1
         3 2 1 -1
y[-2] = 1×3 + 1×2 = 5

if t == 0:
    -1 2 1 1
       3 2 1 -1
y[-2] = 6+2+1 = 9

...

if t == 4
          -1 2 1 1
    3 2 1 -1
y[4] = -1

由此可以求出y[n]的每一项的值。

3. 连续LTI系统的卷积运算

可以构造一个离散的函数来拟合连续的函数。当相邻离散值之间间隔的t->0时，该离散函数将会无限接近于连续函数。我们会发现，这其实就是积分的定义。

连续卷积公式推导：

最终我们可以得到连续卷积的计算公式：

\[x(t) \ast h(t) = \int^{\infty}_{-\infty}{x(\tau)h(t-\tau)d\tau} \]

4. 冲激函数δ(t)的性质

性质一

\[\int^{\infty}_{-\infty}{\delta(t)dt} = 1 \]

核心：

性质二

\[\int^{\infty}_{-\infty}{x(t)\delta(t)dt} = x(0) \]

证明：

\[\int^{\infty}_{-\infty}{x(t)\delta(t)dt}\\ =\lim_{\Delta \rightarrow 0} \int^{\infty}_{-\infty}{x(t)\cdot \frac{1}{\Delta}dt}\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} \int^{\Delta}_{0}{x(t)\cdot dt}\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} x(\epsilon)\Delta (0 \leqslant \epsilon \leqslant \Delta) (积分中值定理）\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0} x(\epsilon) (0 \leqslant \epsilon \leqslant \Delta)\\ = x(0) \]

性质三

\[x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t) \]

证明：

广义上的性质三

\[x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0) \]

性质四

\[\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t) \]

证明：

广义上的性质四

\[\delta(at+b) = \frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a}) \]

性质五

\[\delta(f(t)) = \sum_{所有f(t_0)=0}{\frac{1}{|f'(t0)|}\delta(t-t0)} \]

定理

若h₁(t) = h₂(t)，则x(t)*h(t) = x(t)*h(t)

这里涉及到勒贝格函数相等的定义和勒贝格积分，将会在“信号与系统（拓展一）：勒贝格积分”中详述。

习题

ex. δ(t²-3t+2) = ?

ex. ∫^2Π _-2Π（1+t) δ(cost)dt = ? δ(cost)=? δ(sint)=?

5. 冲激函数δ(t)的多样性

前面提到，冲激函数在不同的书上可能出现两种定义方法，区别在于定义域是[0,Δ]还是[-Δ/2, Δ/2]。利用勒贝格积分，我们可以证明这两个函数其实是一个函数（宽松的限定）。

勒贝格对两个函数相等的定义：要证明f₁(t) = f₂(t)，对于任意函数y(t)，有

\[c = \int^{\infty}_{-\infty}{f_2(t)y(t)dt} \]

结合冲激函数的性质二，我们可以得到以下判定：

要证明一个函数f(t)是δ(t)，只须证明对于任意函数y(t)，有：

\[\int^{\infty}_{-\infty}{f(t)y(t)dt} = y(0) \]

此时证明定义域为[-Δ/2, Δ/2]时也是冲激函数，证明：

\[\int^{\infty}_{-\infty}{\lim_{\Delta \rightarrow 0} \delta(t)y(t)dt}\\ =\lim_{\Delta \rightarrow 0}\int^{\infty}_{-\infty}{\delta(t)y(t)dt}\\ =\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} \int^{\frac{\Delta}{2}}_{-\frac{\Delta}{2}}{y(t)dt}\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0}y(\epsilon) (-\frac{\Delta}{2} \leqslant \epsilon \leqslant \frac{\Delta}{2})(积分中值定理)\\ = y(0) \]

符合判据，所以按照勒贝格的判定，定义在[-Δ/2, Δ/2]的这个函数也是冲激函数。

6. 连续卷积运算

核心：

\[x(t) \ast h(t) = \int^{\infty}_{-\infty}{x(\tau)h(t-\tau)d\tau} \]

两道例题：

用公式直接计算

用画图的方法计算

两条定理：

1. 两个长度一致的方波的卷积是三角波
2. 两个长度不一致的方波的卷积是梯形波

7. 卷积的性质

(1) 交换律

\[x(t) \ast h(t) = h(t) \ast x(t)\\ x[n] \ast h[n] = h[n] \ast x[n] \]

(2) 结合律

\[[x(t) \ast h_1(t)] \ast h_2(t) = [x(t) \ast h_2(t)] \ast h_1(t)\\ (x[n] \ast h_1[n]) \ast h_2[n] = (x[n] \ast h_2[n]) \ast h_1[n] \]

证明：

定理：两个LTI系统的串联或并联仍然是LTI系统

(3) 分配律

\[x(t) \ast [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) \ast h_1(t) + x(t) \ast h_2(t)\\ x[n] \ast (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] \ast h_1[n] + x[n] \ast h_2[n] \]

8. 本章补充知识

1

u(t)是一个特殊的函数，在[-∞, 0]上u(t) = 0，在[0, ∞]上u(t) = 1。

2

\[x(t) \ast u(t) = \int^t_{-\infty}{x(\tau)d\tau}(积分器)\\ x[n] \ast u[n] = \sum^n_{k=-\infty}x[k] (累加器) \]

3

冲击偶函数的定义：

\[\delta'(t) = \frac{d\delta(t)}{dt} \]

在x->-0时，δ’(t)->+∞；在x->+0时，δ’(t)->-∞

4

\[\frac{d[x(t) \ast h(t)]}{dt} = \frac{x(t)}{dt} \ast h(t) = \frac{h(t)}{dt} \ast x(t) \]

证明：

\[\because 微分器是LTI系统\\ \therefore \frac{x(t)}{dt} = x(t) \ast \delta't\\ \therefore \frac{d[x(t) \ast h(t)]}{dt} = [x(t) \ast h(t)] \ast \delta'(t)\\ = [x(t) \ast \delta'(t)] \ast h(t)\\ = \frac{x(t)}{dt} \ast h(t) \]