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信号与系统(二):LTI系统

该部分在前半段的部分手写证明中错将δ写成φ,请见谅,等有空再改过来

LTI系统指线性时不变系统。该系统同时具备线性系统和时不变系统的性质,即齐次性、叠加性和时不变性。

对于一个LTI系统 x(t) -> y(t),可以写成y(t) = x(t) * h(t),即卷积运算(这里和编程语言中的乘号区分)。其中x(t)被称为单位脉冲序列。h(t)被称为单位脉冲响应。

h(t)是LTI系统的唯一标识如果两个LTI系统的h(n)一样,则两个系统是一样的

1. 冲激函数

首先定义冲激函数δ(t)和δ[n]。冲激函数具体表现为在t=0处,函数值无限逼近于正无穷,而冲激函数在定义域上的积分是1.冲激函数用图像有两种表示方法:

其中左图中的1表示该函数图像与x轴围成的面积(即其在定义域上的积分)为1.一种更好理解的画法是右图,当Δ->0时,1/Δ->+∞,但函数的积分始终是1.

有的书上可以看到另一种定义方法,其实质是一样的,后面会证明。

2. 离散LTI系统的卷积运算

解法一:列表法

  1. 确定y[n] = x[n] * h[n] 的取值范围:[x[n]的最左边+h[n]的最左边, [x[n]的最右边+h[n]的最右边]
  2. 列表

例如:对于如下x[n], h[n],

列表:

x[n]\h[n] 1 1 2 -1
3 3 3 6 -3
2 2 2 4 -2
1 1 1 2 -1
-1 -1 -1 -2 1
求和 3 5 9 1 -1 -3 1

解法二:公式法

卷积公式

x[n]h[n]=+k=x[k]h[nk]

离散卷积公式推导

将公式转化为以下形式:

x[n]h[n]=+k=x[k]h[(kn)]

从公式中可以看出计算过程设计四个步骤:

  1. 确定取值范围
  2. h[n]反转为h[-n]
  3. x[n]照抄
  4. 乘、加、移位

例如,对于上面那道题,先写出h[-n]和x[n]

h[-n]: -1 2 1 1

x[n] : 3 2 1 -1

if t == -2:
    -1 2 1 1
           3 2 1 -1
y[-2] = 1×3 = 3

if t == -1:
    -1 2 1 1
         3 2 1 -1
y[-2] = 1×3 + 1×2 = 5

if t == 0:
    -1 2 1 1
       3 2 1 -1
y[-2] = 6+2+1 = 9

...

if t == 4
          -1 2 1 1
    3 2 1 -1
y[4] = -1

由此可以求出y[n]的每一项的值。

3. 连续LTI系统的卷积运算

可以构造一个离散的函数来拟合连续的函数。当相邻离散值之间间隔的t->0时,该离散函数将会无限接近于连续函数。我们会发现,这其实就是积分的定义。

连续卷积公式推导

最终我们可以得到连续卷积的计算公式:

x(t)h(t)=x(τ)h(tτ)dτ

4. 冲激函数δ(t)的性质

性质一

δ(t)dt=1

核心:

性质二

x(t)δ(t)dt=x(0)

证明

x(t)δ(t)dt=limΔ0x(t)1Δdt=limΔ01ΔΔ0x(t)dt=limΔ01Δx(ϵ)Δ(0ϵΔ)(=limΔ0x(ϵ)(0ϵΔ)=x(0)

性质三

x(t)δ(t)=x(0)δ(t)

证明:

广义上的性质三

x(t)δ(tt0)=x(t0)δ(tt0)

性质四

δ(at)=1|a|δ(t)

证明:

广义上的性质四

δ(at+b)=1|a|δ(t+ba)

性质五

δ(f(t))=f(t0)=01|f(t0)|δ(tt0)

定理

若h1(t) = h2(t),则x(t)*h(t) = x(t)*h(t)

这里涉及到勒贝格函数相等的定义和勒贝格积分,将会在“信号与系统(拓展一):勒贝格积分”中详述。

习题

ex. δ(t2-3t+2) = ?

ex. ∫ -2Π(1+t) δ(cost)dt = ? δ(cost)=? δ(sint)=?

5. 冲激函数δ(t)的多样性

前面提到,冲激函数在不同的书上可能出现两种定义方法,区别在于定义域是[0,Δ]还是[-Δ/2, Δ/2]。利用勒贝格积分,我们可以证明这两个函数其实是一个函数(宽松的限定)。

勒贝格对两个函数相等的定义:要证明f1(t) = f2(t),对于任意函数y(t),有

c=f2(t)y(t)dt

结合冲激函数的性质二,我们可以得到以下判定:

要证明一个函数f(t)是δ(t),只须证明对于任意函数y(t),有:

f(t)y(t)dt=y(0)

此时证明定义域为[-Δ/2, Δ/2]时也是冲激函数,证明:

limΔ0δ(t)y(t)dt=limΔ0δ(t)y(t)dt=limΔ01ΔΔ2Δ2y(t)dt=limΔ0y(ϵ)(Δ2ϵΔ2)()=y(0)

符合判据,所以按照勒贝格的判定,定义在[-Δ/2, Δ/2]的这个函数也是冲激函数。

6. 连续卷积运算

核心

x(t)h(t)=x(τ)h(tτ)dτ

两道例题

用公式直接计算

用画图的方法计算

两条定理

  1. 两个长度一致的方波的卷积是三角波
  2. 两个长度不一致的方波的卷积是梯形波

7. 卷积的性质

(1) 交换律

x(t)h(t)=h(t)x(t)x[n]h[n]=h[n]x[n]

(2) 结合律

[x(t)h1(t)]h2(t)=[x(t)h2(t)]h1(t)(x[n]h1[n])h2[n]=(x[n]h2[n])h1[n]

证明

定理:两个LTI系统的串联并联仍然是LTI系统

(3) 分配律

x(t)[h1(t)+h2(t)]=x(t)h1(t)+x(t)h2(t)x[n](h1[n]+h2[n])=x[n]h1[n]+x[n]h2[n]

8. 本章补充知识

1

u(t)是一个特殊的函数,在[-∞, 0]上u(t) = 0,在[0, ∞]上u(t) = 1

2

x(t)u(t)=tx(τ)dτ()x[n]u[n]=nk=x[k]()

3

冲击偶函数的定义:

δ(t)=dδ(t)dt

在x->-0时,δ’(t)->+∞;在x->+0时,δ’(t)->-∞

4

d[x(t)h(t)]dt=x(t)dth(t)=h(t)dtx(t)

证明:

本文作者:PaB式乌龙茶

本文链接:https://www.cnblogs.com/pab-oolongtea/p/17118234.html

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