IOI2021 Day2 简要题解
从七点半做到五点，我裂开了。
主要原因是 T2 暴露出我完全没有代码能力、 T3 暴露出我不会小学数学。
T2 的 sb 错误包括但不限于
- 定义的变量忘记预处理。
- MLE 。
- 树上单调栈写挂。
T3 的 sb 错误包括但不限于
- 20*20=4000 。
- 写了
cnt+=2之后误以为自己写的是cnt++，于是误以为自己要大约 5000 次操作。
T1
从 \(s_i\) 向 \(t_i\) 连一条边，得到一个 3 个点、若干条边的图。
一次操作就是交换两条边的起点。
随便贪心即可。正确性看着就很没问题。
T2
无脑的想法就是把每一种基环树都预处理出来，然后询问的时候暴力跳，直到超过下一个人。但是这种想法没有前途。
尝试分析跳跃的性质，发现没有性质。
观察收益。输了的时候收益可能很小，但是赢的收益是其能力值，看起来会比较大。
如果有一个人我现在打不过，但是过了若干次之后把他打败了，那么我的能力值此时至少乘了 2 。
但是下一个现在打不过而以后打得过的人也不好找。
但是我们主要的目标是让自己的能力值乘 2 ，所以可以把 \((2^i,2^{i+1}]\) 能力值的人分成一组，每次只要找到一个打得过的组别够大的人即可。
这样只有 \(\log w\) 个基环树。乱搞搞可以做到 \(O((n+q)\log n\log w)\) 。然而写完就会发现跑不过去。
考虑把乘 2 变成乘 \(k\) ，那么复杂度就是 \(O(n\log_k w\log n+qk\log_k w\log n)\) 。取 \(k=8\) 即可获得 \(1\over 3\) 的常数。
loj 不太喜欢我的代码，但是在 oj.uz 过了。
https://oj.uz/submission/438455
T3
先考虑怎么比较两个数 \(x,y\) 的大小。
\(b>k\) ，所以假装我们在模 \(2^{k+1}\) 意义下做加法。那么把 \(y\) 按位取反（下面称为 \(rev(y)\) ），加上 \(x\) ，即得到 \(x-y-1\) 。观察第 \(k\) 位是 0 还是 1 即可。
为了把最小值取出来，需要 \(2\log k\) 的次数把第 \(k\) 位扩展到所有 \(k+1\) 位，然后和 \(x\) 取 and 。
但是这样一次差不多需要 20 次操作，非常爆炸。
因为 \(b=2000>nk\) ，所以考虑一次多进行一些操作。假设 \(X,Y\) 分别是 \(n/2\) 个数连在一起，我们需要分别求 \(\min\) ，然后把 \(\min\) 放在 \(X\) 的位置。
问题 1 ：数连在一起，所以“第 \(k\) 位”会是下一个数的第 0 位。
解决方案：无所谓。只需要 \(X+rev(Y)\) 的时候“第 \(k\) 位”恰好有一个 0 一个 1 ，就不会有什么问题。给 \(X+rev(Y)\) 异或上 \(X\oplus Y\) 即可。
问题 2 ：下面的数加在一起的时候可能会给上面的数进位。
解决方案：同样无所谓。\(x-y-1\) 和 \(x-y\) 几乎没有区别。
这样我们就可以用大约 20 次操作把 \(n\) 个数折半。所以第一问就用 \(20\log n\) 次操作做完了。
我们现在有一个大约 20 次操作可以比较 199 个数的神奇黑箱，考虑找一个和这比较契合的排序方法。
思来想去发现没啥好用的，那就自己编。
// 我称之为 冒泡排序-plus
rep(k,1,(n+1)/2)
{
for (int i=1;i<n;i+=2) if (a[i]>a[i+1]) swap(a[i],a[i+1]);
for (int i=2;i<n;i+=2) if (a[i]>a[i+1]) swap(a[i],a[i+1]);
}
不太清楚为什么这个能够完成排序任务，但它确实完成了。
那么就只需要调用 \(n\) 次黑箱就做完了。
