《浅谈格路计数相关问题》 - 学习笔记

ddy Orz

好像是一些很妙妙的东西，但是更妙妙的东西被略过了（

开始抄论文。

2 \(\text{Dyck}\) 路

2.3 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路的计数

很显然，如果 \(n\perp m\) ，那么有 \(period(P)=n+m\) 。

然后考虑把互为循环移位的一组 \(P\) 放在一起考虑，即一次考虑 \(n+m\) 个。

惊喜地发现，这 \(n+m\) 个里面好像恰好有一个是 \text{Dyck} 路，而其他都不是。

存在性：任取一条不合法路径出来（显然这个是一定存在的），找到所以 \(y={m\over n}x\) 下方的点，取出到这条直线距离最远的点。这个点会把路径分成 \(P_1P_2\) ，那么可以发现把路径重组成 \(P_2P_1\) 就一定合法了。

唯一性：如果拆出来的点不是距离最远的那么一定不合法。如果存在两个距离相等（且不为 0 ）的点，那么经过这两个点的直线与 \(y={m\over n}x\) 平行，而这与 \(n\perp m\) 矛盾。

所以 \(n\perp m\) 时 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路的数量为 \({1\over n+m}{n+m\choose n}\) 。

2.4 有 \(k\) 个峰的 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路计数

定义峰为路径中连续两步为 \(UL\) 的个数。

考虑把路径里的连续 \(U\) 和连续 \(L\) 缩成一个，那么路径会长成 (L)ULULUL..UL(U) 的样子。用插板法容易得到有 \(k\) 个峰的 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的自由路数量为 \({n\choose k}{m\choose k}\) 。

而如果还要求是 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路呢？同样假设 \(n\perp m\) 。此时缩点之后的合法路径只能长成 ULULUL...UL 的样子，并且离直线距离最远的一定是 \(LU\) 之间那个点。这样的点有 \(k\) 个，所以可以得到数量为 \({1\over k}{n-1\choose k-1}{m-1\choose k-1}\) 。

2.5 \(t\!-\!\text{Dyck}\) 路计数

这里满足 \(t\) 为正整数。由于斜率变得任意，所以不能直接用翻折法了。

由于 \(\gcd(n,tn)=n\) ，所以不能照搬上面的做法。但是考虑到 \(\gcd(n,tn+1)=1\) ，所以可以看看把终点往上移一格会发生什么。

发现这样非常 amazing 啊，把得到的 \((n,tn+1)\!-\!\text{Dyck}\) 路的第一个 \(U\) （显然第一个只能是 \(U\) ）删掉之后，竟然刚好能对应回一条 \((n,tn)\!-\!\text{Dyck}\) 路。

这是因为连接 \((0,0),(n,tn)\) 和连接 \((0,0),(n,tn+1)\) 的线段之间没有整点，而临界状态的那些点往下一格刚好也还是合法的。

所以 \(m=tn\) 的各种东西也可以数了。

甚至还有更有趣 (niubi) 的东西：

不是很懂这两条是否真的是对的：直接令 \(t={m\over n}\) ， (12) 给出的答案是 \({1\over n+1}{n+m\choose n}\) ，但 \(n\perp m\) 时刚刚推出来的答案是 \({1\over n+m}{n+m\choose n}\) 。或许是笔误？

然而被略过了（

3 不相交格路

大力映射，大力翻折。

3.1 \(n\) 阶不交 \(\text{Dyck}\) 路计数

注意定义里写的是穿过，即重合是不算相交的。强制 \(P\) 在 \(Q\) 上方。什么时候会相交呢？某个时刻 \(P,Q\) 在同一个点，然后 \(Q\) 往上走， \(P\) 往右走，这就算穿过。

穿过的定义和 LGV 引理使用的条件略有不同，所以考虑修改一下。把 \(P\) 往左再往上移动一格，起终点变为 \((-1,1),(n-1,n+1)\) ，此时如果 \(P,Q\) 有公共点那么就认为它们相交。

现在应该已经可以使用 LGV 引理了（不相交路径的定义相同了，并且如果起终点反了那么一定会相交，所以不会被算进答案），但是形式还不够好看。

我们强行让路径 \(P\) 的开头向下延伸两格，结尾向右延伸两格，可以发现答案不变。此时所有起点终点都在 \(y=x\) 上，路径条数就是卡特兰数。运用 LGV 引理，得到答案 \(C_{n+2}C_n-C_{n+1}^2\) 。

然后又是更有趣 (niubi) 的东西：

然后又被略过了（（（

不过这个式子的下标好像和上面那个 \(C_{n+2}C_n-C_{n+1}^2\) 不太一样，大概是定义的锅。

这个式子看起来很像是用 LGV 引理求出来的东西。

3.2 不交自由路对计数

先考虑不接触自由路对。这个除了起点终点就很迷惑，所以考虑 \(P\) 的第一步必然是 \(U\) ，最后一步必然是 \(L\) ， \(Q\) 同理。所以都删掉第一步和最后一步，得到 \((\tilde{P},\tilde Q)\) （即 \(P=U\tilde PL,Q=L\tilde QU\) ）。现在 \(\tilde P,\tilde Q\) 完全没有公共点，直接应用 LGV 引理得到