ARC096 E Everything on It [容斥，斯特林数]
一个900分的题耗了我这么久……而且官方题解还那么短……必须纪念一下……
思路
发现每种元素必须出现两次以上的限制极为恶心，所以容斥，枚举出现0/1次的元素个数分别有几个。设出现1次的元素有\(i\)个，无限制的的有\(k\)个，\(i\)个被分到了\(l\)个集合里。
此时只有集合不能相同的限制。
发现那\(l\)个集合无论如何都不会和其他集合相同，所以方案数是\({(2^{k})}^l\)。
剩下的相当于从\(2^k\)中选几种集合，是\(2^{2^k}\)。
所以答案就是
\[\sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^n {n\choose k}{n-k\choose i}(-1)^{n-k} S(i,l) 2^{2^k} 2^{kl}
\]
其中\(S(i,l)\)为第二类斯特林数。
此时获得了一个\(O(n^3)\)做法，尝试优化掉一个求和符。
考虑优化\(i\)。令\(m=l,p=n-k\)，我们要求的就是
\[F(m,p)=\sum_{i=0}^n S(i,m){p\choose i}
\]
注意到\(S(i,m)=S(i-1,m-1)+m\times S(i-1,m)\)，而\({p\choose i}=\sum_{j=0}^{p-1}{j\choose i-1}\)，所以有
\[\begin{align*}
F(m,p)&=\sum_{i=0}^n [S(i-1,m-1)+m\times S(i-1,m)]\sum_{j=0}^{p-1}{j\choose i-1}\\
&=\sum_{j=0}^{p-1}\sum_{i=0}^{n-1} [S(i,m-1)+m\times S(i,m)]{j\choose i}\\
&=\sum_{j=0}^{p-1} [m\times F(m,j)+F(m-1,j)]
\end{align*}
\]
这里没有边角项是因为\(n>j\)，所以\({j\choose n}=0\)。
于是维护前缀和就可以算出\(F(m,p)\)了。
最终答案
\[\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^n {n\choose k}(-1)^{n-k} 2^{2^k+kl} F(l,n-k)
\]
那个2的幂次还需要光速幂。
已经不想看官方题解是什么了……不如抓个ntf来帮我做题。
update：发现我使劲优化的那个东西就是\(S(p+1,m+1)\)……被教做人了……
代码
#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define templ template<typename T>
#define sz 3555
typedef long long ll;
typedef double db;
mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templ inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
inline void print(register int x)
{
if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
}
void file()
{
#ifdef NTFOrz
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
}
inline void chktime()
{
#ifndef NTFOrz
cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
#endif
}
ll mod;
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll ksm(ll x,int y,ll mod){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n;
ll fac[sz],_fac[sz];
void init(){fac[0]=_fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) _fac[i]=inv(fac[i]=fac[i-1]*i%mod);}
ll C(int n,int m){return n>=m&&m>=0?fac[n]*_fac[m]%mod*_fac[n-m]%mod:0;}
ll S[sz][sz],Ssum[sz][sz];
ll F[sz][sz],Fsum[sz][sz];
ll pw2[sz];
namespace SHIT
{
#define S 32768
ll pw1[S],pw2[S];
void init()
{
pw1[0]=1;rep(i,1,S-1) pw1[i]=pw1[i-1]*2%mod;
pw2[0]=1;pw2[1]=pw1[S-1]*2%mod;rep(i,2,S-1) pw2[i]=pw2[i-1]*pw2[1]%mod;
}
ll ksm(int x){return pw2[x>>15]*pw1[x&32767]%mod;}
#undef S
}
int main()
{
file();
read(n,mod);
init();SHIT::init();
S[0][0]=1;rep(i,1,n) rep(j,1,i) (S[i][j]+=S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j%mod)%=mod;
rep(i,0,n) rep(j,1,n) (Ssum[i][j]=Ssum[i][j-1]+S[i][j])%=mod;
rep(p,0,n) rep(i,0,n) (F[0][p]+=S[i][0]*C(p,i)%mod)%=mod;
Fsum[0][0]=F[0][0];rep(p,1,n) Fsum[0][p]=(Fsum[0][p-1]+F[0][p])%mod;
rep(m,1,n) rep(i,0,n) (F[m][0]+=S[i][m]*C(0,i)%mod)%=mod,Fsum[m][0]=F[m][0];
rep(m,1,n) rep(p,1,n) (F[m][p]=Fsum[m][p-1]*m%mod+Fsum[m-1][p-1])%=mod,Fsum[m][p]=(Fsum[m][p-1]+F[m][p])%mod;
pw2[0]=1;rep(i,1,n) pw2[i]=pw2[i-1]*2%(mod-1);
ll ans=0;
rep(k,0,n)
rep(l,0,n)
(ans+=F[l][n-k]*(((n+k)&1)?mod-1:1ll)%mod*SHIT::ksm((k*l+pw2[k])%(mod-1))%mod*C(n,k)%mod)%=mod;
cout<<ans;
return 0;
}
