2019暑期金华集训 Day6 计算几何
自闭集训 Day6
计算几何
内积
内积不等式：
其中\((A,B)\)表示\(A\cdot B\)。
（好像是废话？）
叉积
二维叉积：\(A\times B=x_1y_2-x_2y_1\)。
三维叉积：
叉积判直线关系：？？
极角
atan2(y,x)，返回值\((-\pi,\pi]\)。
如果极角相差较大可以用这个来判，否则由于精度问题可能要用叉积。在值域\(10^9\)的时候这个函数可能基本没用。
旋转
向量的旋转，直接用三角函数公式推一推即可，可以写成矩阵的形式。
经典题
每时刻有旋转/平移/缩放等操作，问一个向量在\([l,r]\)中操作之后会变成什么。
直接写成矩阵乘法的形式，用线段树维护。
Simpson积分
对于二次函数\(f(x)\)，有
对于其他函数，可以用二次函数拟合。
Projection
求\(P\)在直线\(P_1P_2\)上的投影点/对称点。
直接把直线\(P_1P_2\)的垂线做出来，求个交，就没了。
也可以用点积得到\(PP_1\)在\(P_1P_2\)上的投影长度，然后也可以求出垂足。
向量的位置关系
直接点积叉积乱搞一通就没了。
直线的位置关系、线段的位置关系都差不多。
线段是否相交
先把直线平行、直线重合判掉。
然后分别把两条线段的端点取出来，看是否在另一条直线的两边。
（老师给的方法：先判外接矩形是否相交，然后再做跨立实验）
线段交点
把直线重合判掉，然后当成直线来求交点。
线段之间距离
距离定义为最近点对的距离。
如果有交点则为0，否则变成点到线段距离。
点到线段距离？点积判一下端点之间位置关系然后直接做。
多边形面积
不保证多边形是凸的。
直接在二维平面上随便选一个点然后叉积。
判凸包
直接叉积就没了。
判点在多边形内
射线法大家都知道，但有很多恶心的边界情况。
两种方法：
第一种：把斜率设成一个奇怪的无理数，多半可以跳过所有边界情况。
第二种：钦定射线向右，把所有边界情况都判了就完事了。
边界：
- 如果射线与边重合那么
continue。 - 如果穿过了\(AB\)的\(A\)，而且\(AB\)向下，那么计数器++。
- 如果穿过了\(AB\)的\(B\)，而且\(AB\)向上，那么计数器++。
- 如果点在边上那么直接返回。
求凸包
大家都会？
求凸包直径
旋转卡壳。
求凸包在射线左边的面积
把有关的点抠出来，仍然是一个凸包，然后算面积即可。
平面最近点对距离
K-D Tree多好
分治，然后发现左边匹配右边只会有\(O(1)\)个点有可能产生贡献，于是没了。
圆的关系
相离，外切，相交，内切，内含。
圆心和半径的关系乱搞即可。
求圆和直线的交点
知道半径、知道圆心到直线的距离，于是可以得到弦长，于是没了。
求两个圆的交点
可以求出交点的直线方程，于是没了。
当然，也可以用余弦定理解三角形得到答案。
点到圆的切点
知道半径、知道距离、知道有一个直角，于是可以解三角形。
两个圆的公切线
首先判掉内含、内切。
此时必然有两条外公切线，解一解三角形。
内公切线类似。
求圆和多边形交的面积
可以通过有向面积化成三角形和圆的交的面积。注意到三角剖分的原点任意，可以设为圆心。
如果三个点都在里面那么很容易。
否则就把线段\(AB\)与圆的交点搞出来，把三角形切开，递归搞。
只会递归常数层，但比较好写。
bzoj1043
直接暴力，对于每个圆盘求出后面的圆盘盖掉它的角度区间，求个区间并就没了。
角度区间可以求圆的交点来求。
CF932F
设\(dp_x\)表示从\(x\)跳到某个叶子的最小代价，从下往上DP。
每次求\(x\)的答案的时候发现就是一个斜率优化，启发式合并把子树内的凸包合起来就没了。
DSU on tree维护凸包也可以。
然后就是要支持往凸包里插入一个点，拿set乱搞即可。
某题
发现最多选4个向量，而且选4个向量的时候只能是互相垂直的，可以判掉。于是只要选3个向量，使得相邻两个向量的夹角小于180。
然后把所有向量反向再加进去，正向的设为红色，反向的设为绿色。
于是我们就要找形如“红绿红”的三条向量，并且两个红向量的夹角小于180。
枚举第一个红向量，数据结构维护后面两个的最小值。
CF1025F
结论：三角形不相交等价于能做出两条内公切线。
然后枚举一条公切线，答案就是公切线两边分别选两个点的方案数。
bzoj2961
圆反演，点在圆内转化为点在直线的某一侧。
于是变成动态半平面交，也许可以转化为凸包做？
圆反演
对于一个点\(P\)，如果\(P\)对\(O\)反演，那么\(P\)仍然在射线\(OP\)上，距离变为原来的倒数。
一条不过\(O\)的直线反演后变成一个过\(O\)的圆，反之亦然。
不过\(O\)的圆反演后仍然是不过\(O\)的圆。
HDU4773
圆反演，就变成了求两个圆的某个特定公切线。（注意原题需要外切，所以不能乱搞公切线）
Codechef QPOINT
注意“不相交”也保证了两个多边形不能相互包含。
考虑射线法，看一个点往上对着的第一个线段，如果是从右往左那么就在多边形外，否则在多边形内。（假设边是按顺时针走的）
如果可以离线，那么按\(x\)排序一下从左往右搞，因为没有相交的边，所以用set很好维护。
不能离线，那么用可持久化treap维护。
细节很多，也许旋转某个无理数角度会有点用？
CF704E
树剖，把树上的问题转化为序列上的问题。
以时间为\(x\)轴、位置\(y\)轴，那么一次位移就是二维平面的一条线段。
问题就转化为\(m\log n\)条线段什么时候最早相交。
按\(x\)坐标扫描线，用\(set\)维护所有线段的\(y\)的相对大小关系。
如果两条线段有交，那么他们一定会有某个时刻在set里是相邻的。
又因为我们只需要求最早的交点，所以我们可以认为set里面的线段永远不相交，因为当我们跑到相交的时间的时候就要直接返回答案了。
于是每次加入一条线段的时候判一下和前驱后继相交的时间，更新一下结束时间。如果当前时间超出了结束时间那么就可以直接返回了。
CF799G
设\(f(x)\)表示极角为\(x\)的射线左边面积减去右边面积，那么有\(f(0)=-f(\pi)\)。
所以中间必然存在零点，可以二分这个零点。
考虑二分了一个极角之后怎么求\(f(x)\)。可以使用二分得到这条射线与凸包的各种交点，然后用各种前缀和得到面积，所以可以\(O(\log n)\)得到\(f(x)\)。
所以我们\(O(n\log^2 n)\)做出了答案。
（听起来细节就特别特别多……）
