LOJ3120. 「CTS2019」珍珠 [容斥，生成函数]
思路
非常显然，就是要统计有多少种方式使得奇数的个数不超过\(n-2m\)。（考场上这个都没想到真是身败名裂了……）
考虑直接减去钦点\(n-2m+1\)个奇数之后的方案数，但显然这样会算重，所以考虑容斥。
设\(f_k\)表示至少有\(k\)个为奇数的方案数。
那么有
\[\begin{align*}
f_k&={D\choose k}{n!}[x^n](\frac{e^x-e^{-x}}{2})^k e^{(D-k)x}\\
&={D\choose k}\frac{1}{2^k}{n!}[x^n]({e^x-e^{-x}})^k e^{(D-k)x}
\end{align*}
\]
考虑后面的部分用二项式定理暴力拆开，得到
\[\begin{align*}
&[x^n]({e^x-e^{-x}})^k e^{(D-k)x}\\
=&[x^n]\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{k-i}e^{ix}e^{-(k-i)x}e^{(D-k)x}\\
=&[x^n]\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{k-i}e^{(D+2i-2k)x}\\
=&[x^n]\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^{i}e^{(D-2i)x}\\
=&\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^k {k\choose i}(-1)^i(D-2i)^n
\end{align*}
\]
所以
\[f_k={D\choose k}\frac{1}{2^k}k!\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i(D-2i)^n}{i!}\frac{1}{(k-i)!}
\]
显然是一个卷积的形式，用NTT在\(O(D\log D)\)的时间内求出。
然后设\(g_k\)为恰好有\(k\)个奇数的方案数，有
\[f_k=\sum_{i=k}^D {i\choose k}g_i
\]
二项式反演得到
\[g_k=\sum_{i=k}^D (-1)^{i-k}{i\choose k}f_i
\]
显然也可以把组合数拆开之后NTT解决，复杂度同样\(O(D\log D)\)。
最后答案就是\(\sum_{i\le n-2m} g_i\)，特判\(D\le n-2m\)时输出\(D^n\)，就做完了。
代码
#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define templ template<typename T>
#define sz 804040
#define mod 998244353ll
typedef long long ll;
typedef double db;
mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templ inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
inline void print(register int x)
{
if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
}
void file()
{
#ifdef NTFOrz
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
}
inline void chktime()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
#endif
}
#ifdef mod
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
#else
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
#endif
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int r[sz],limit;
void NTT_init(int n)
{
limit=1;int l=-1;
while (limit<=n+n) limit<<=1,++l;
rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
{
ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
{
ll w=1;
for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
{
ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*w%mod;
a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if (type==1) return;
ll I=inv(limit);
rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;
}
int D,n,m;
ll fac[sz],_fac[sz];
void init(){_fac[0]=fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) _fac[i]=inv(fac[i]=fac[i-1]*i%mod);}
ll tmp1[sz],tmp2[sz];
ll f[sz],g[sz];
void GetF()
{
rep(i,0,D) tmp1[i]=ksm(D-i*2,n)*_fac[i]%mod*((i&1)?mod-1:1ll)%mod;
rep(i,0,D) tmp2[i]=_fac[i];
NTT_init(D);
NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
NTT(tmp1,-1);
rep(i,0,D) f[i]=fac[D]*_fac[i]%mod*_fac[D-i]%mod*ksm(2,mod-1-i)%mod*fac[i]%mod*tmp1[i]%mod;
rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}
void GetG()
{
rep(i,0,D) tmp1[i]=f[i]*fac[i]%mod;
rep(i,0,D) tmp2[i]=(((D-i)&1)?mod-1:1ll)*_fac[D-i]%mod;
NTT_init(D+D);
NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
NTT(tmp1,-1);
rep(i,0,D) g[i]=_fac[i]*tmp1[D+i]%mod;
rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}
int main()
{
file();
read(D,n,m);
if (D<=n-2*m) return printf("%lld\n",ksm(D,n)),0;
if (n<2*m) return puts("0"),0;
init();
GetF();GetG();
ll ans=0;
rep(i,0,n-2*m) (ans+=g[i])%=mod;
cout<<ans;
return 0;
}
