二项式反演学习笔记
震惊！搞了一个寒假竟然还是不会二项式反演！我菜死了……
用途
你想求\(g\)函数，\(f\)函数很容易得到，而且你知道
\[f_n=\sum_{i=0}^n {n\choose i }g_i
\]
（或者差不多长成这样的式子）
那么你可以一波操作弄出\(g_n\)。
式子
式子1
若
\[f_n=\sum_{i=0}^n {n\choose i }g_i
\]
那么有
\[g_n=\sum_{i=0}^n {n\choose i }(-1)^{n-i}f_i
\]
证明
设\(F(x)\)为\(f\)的指数型生成函数，\(G(x)\)同理。
那么有\(F=e^x\times G\)。
于是得到\(G=e^{-x}\times F\)。
拆开来就成了上面的式子。
式子2
若
\[f_k=\sum_{i=k}^n {i\choose k }g_i
\]
那么有
\[g_k=\sum_{i=k}^n {i\choose k}(-1)^{i-k}f_i
\]
证明
鸽子来补证明啦！
由初始式子可知
\[f_kk!=\sum_{i=k}^n g_ii!\frac 1 {(i-k)!}
\]
令\(f'_k=f_kk!,g'_i=g_ii!\)，那么就有
\[f'_k=\sum_{i=k}^n g'_i\frac 1 {(i-k)!}
\]
再令\(f''_k=f'_{n-k},g''_i=g''_{n-i}\)，推一推可以发现
\[F''(x)=G''(x)e^x
\]
（注意两个'并不是求导）
所以就有\(e^{-x}F''(x)=G''(x)\)，逆回去就得到反演式子了。
