支配树学习笔记
用途
定义：若删去\(x\)的支配点和与它相邻的边，那么\(S\)就无法到达\(x\)。
那么支配树的作用就是求出每个点的支配点。
思想
鬼知道tarjan老爷子是怎么想到这个东西的……
前置知识
定义：\(fa,dfn,lca\)均指在dfs树上的定义。
（为了写的方便，下文点之间比大小一律定义为它们的\(dfn\)比大小）
定义：\(y\)为\(x\)的半支配点，当且仅当存在一条\(y\rightarrow x\)的路径，且这条路径掐头去尾之后都有\(dfn>dfn_x\)，且\(y\)为满足这个条件的\(dfn\)最小的点，记为\(semi_x=y\)。
（为了写的方便，下文有的时候半支配点指满足条件但不是最小的点，而\(semi_x\)永远指严格意义上的半支配点）
定理：对于\(y<x\)，\(y\rightarrow x\)的路径必然经过\(lca(x,y)\)或\(lca\)的祖先。
证明：画一画图，应该很容易发现这个结论的qwq
定理：\(semi_x\)必定为\(x\)的祖先。
由于\(fa_x\)显然是\(x\)的半支配点，所以有\(semi_x\le fa_x\)。
又由于当\(semi_x\)不是\(x\)的祖先时，\(semi_x\rightarrow x\)的路径必然经过\(dfn<dfn_x\)的点，不合法。
所以\(semi_x\)必然为\(x\)的祖先。
求\(semi_x\)
如何求\(semi_x\)？
分情况讨论：要么是\(semi_x\)一步走到了\(x\)；要么是\(semi_x\)先跳到了\(x\)的兄弟节点那里，然后再乱跳一通跳回来；要么是\(semi_x\)跳到了\(x\)的子树内，然后在子树内晃来晃去，最后跳回来。
第一种
建反图即可。
第二种
设\(w\)为\(semi_x\rightarrow x\)路径上的第一个点，那么就会有\(semi_x=semi_w\)。
证明：\(semi_w\)显然是\(x\)的支配点。若\(semi_x<semi_w\)，那么会发现\(semi_x\)也是\(w\)的半支配点，于是\(semi_w\)不是\(w\)最小的半支配点，矛盾。
所以\(semi_x\ge semi_w\)，所以\(semi_x=semi_w\)。
显然，对于任意点\(u>x\)，只要\(u\)能通过\(dfn>dfn_x\)的路径走到\(x\)，那么\(semi_u\)就一定是\(x\)的半支配点。
于是可以枚举边\((u,x)\)且\(u>x\)的点作为路径的最后一个点，然后在它的祖先（同样要保证\(dfn>dfn_x\)）的\(semi\)里面取\(\min\)。
第三种
其实与第二种一模一样qwq
建支配树
\(semi_x\)有什么用？
把非树边全都删掉，加上\((semi_x,x)\)的边，支配关系不变。
证明？感性理解一下吧qwq
然后这个图变成了一个DAG，\(O(n\log n)\)乱搞就好了。
代码
以洛谷P5180 【模板】支配树为例题。注意求\(semi_x\)的实现方法比较妙。
（我在这里用了vector，成功跑到rank倒数第三，倒数第一还是故意卡时的）
（也就是说我跑了倒数第二qwq）
#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define templ template<typename T>
#define sz 303030
typedef long long ll;
typedef double db;
mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templ inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
inline void print(register int x)
{
if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
}
inline void chktime()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
#endif
}
#ifdef mod
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
#else
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
#endif
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m;
namespace GetAns
{
vector<int>V[sz];
int size[sz];
void dfs(int x)
{
size[x]=1;
for (int v:V[x]) dfs(v),size[x]+=size[v];
}
void work()
{
dfs(1);
rep(i,1,n) printf("%d ",size[i]);
}
}
namespace BuildTree
{
int idom[sz];
vector<int>V[sz];
int deg[sz];
int fa[sz][25],dep[sz];
int lca(int x,int y)
{
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
drep(i,20,0)
if (fa[x][i]&&dep[fa[x][i]]>=dep[y])
x=fa[x][i];
if (x==y) return x;
drep(i,20,0)
if (fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
void work()
{
queue<int>q;q.push(1);
while (!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();
GetAns::V[idom[x]].PB(x);fa[x][0]=idom[x];dep[x]=dep[idom[x]]+1;
rep(i,1,20) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
for (int v:V[x])
{
--deg[v];if (!deg[v]) q.push(v);
if (!idom[v]) idom[v]=x;
else idom[v]=lca(idom[v],x);
}
}
}
}
namespace BuildDAG
{
vector<int>V[sz],rV[sz];
int dfn[sz],id[sz],anc[sz],cnt;
void dfs(int x)
{
id[dfn[x]=++cnt]=x;
for (int v:V[x]) if (!dfn[v]) BuildTree::V[x].PB(v),BuildTree::deg[v]++,anc[v]=x,dfs(v);
}
int fa[sz],mn[sz];
int find(int x)
{
if (x==fa[x]) return x;
int tmp=fa[x];fa[x]=find(fa[x]);
chkmin(mn[x],mn[tmp]);
return fa[x];
}
int semi[sz];
void work()
{
int x,y;
while (m--) read(x,y),V[x].PB(y),rV[y].PB(x);
dfs(1);
rep(i,1,n) fa[i]=i,mn[i]=1e9,semi[i]=i;
drep(w,n,2)
{
x=id[w];int cur=1e9;
if (w>cnt) continue;
for (int v:rV[x])
{
if (!dfn[v]) continue;
if (dfn[v]<dfn[x]) chkmin(cur,dfn[v]);
else find(v),chkmin(cur,mn[v]);
}
semi[x]=id[cur];mn[x]=cur;fa[x]=anc[x];BuildTree::V[semi[x]].PB(x);BuildTree::deg[x]++;
}
}
}
int main()
{
file();
read(n,m);
BuildDAG::work();
BuildTree::work();
GetAns::work();
return 0;
}
