Codeforces 1083C Max Mex [线段树]
思路
很容易发现答案满足单调性，可以二分答案。
接下来询问就转换成判断前缀点集是否能组成一条链。
我最初的想法：找到点集的直径，判断直径是否覆盖了所有点，需要用到树套树，复杂度\(O(n\log^3n)\)，应该过不了。
有一个性质：两条链可以合并，当且仅当能从四个端点中找到两个作为新端点，另外两个在新的链上。
还有一个性质：点\(x\)在\((u,v)\)这条链上，当且仅当\((lca(x,u)=x||lca(x,v)=x)\&\&lca(x,y)=y\)，其中\(y=lca(u,v)\)。
于是可以ST表\(O(1)\)查询\(lca\)，\(O(1)\)合并两条链。
于是可以维护一个线段树记录区间点集组成的链。
于是可以直接在线段树上二分，不用在外面二分。
复杂度\(O(n\log n)\)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define templ template<typename T>
#define sz 202020
typedef long long ll;
typedef double db;
mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templ inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
inline void print(register int x)
{
if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
}
inline void chktime()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
#endif
}
#ifdef mod
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
#else
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
#endif
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m;
int P[sz],pos[sz];
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t){edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};head[f]=ecnt;}
int dfn[sz],dep[sz],p[sz<<1],cnt;
void dfs(int x)
{
p[++cnt]=x;dfn[x]=cnt;
go(x) dep[edge[i].t]=dep[x]+1,dfs(edge[i].t),p[++cnt]=x;
}
int st[sz<<1][25],lg2[sz<<1];
#define cmp(x,y) (dep[x]<dep[y]?x:y)
void init()
{
dfs(1);
rep(i,1,cnt) st[i][0]=p[i];
rep(j,1,20)
rep(i,1,cnt-(1<<j)+1)
st[i][j]=cmp(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
lg2[1]=0;rep(i,2,cnt) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
}
int query(int l,int r){int len=lg2[r-l+1];return cmp(st[l][len],st[r-(1<<len)+1][len]);}
int lca(int x,int y){ x=dfn[x],y=dfn[y]; if (x>y) swap(x,y); return query(x,y); }
#undef cmp
bool on(int x,int s,int t){int y=lca(s,t);return (lca(x,s)==x||lca(x,t)==x)&&lca(x,y)==y;}
pii merge(int x,int y,int u,int v)
{
if (x==-1||y==-1||u==-1||v==-1) return MP(-1,-1);
if (on(u,x,y)&&on(v,x,y)) return MP(x,y);
if (on(y,x,u)&&on(v,x,u)) return MP(x,u);
if (on(y,x,v)&&on(u,x,v)) return MP(x,v);
if (on(x,y,u)&&on(v,y,u)) return MP(y,u);
if (on(x,y,v)&&on(u,y,v)) return MP(y,v);
if (on(x,u,v)&&on(y,u,v)) return MP(u,v);
return MP(-1,-1);
}
pii merge(pii x,pii y){return merge(x.fir,x.sec,y.fir,y.sec);}
pii tr[sz<<2];
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
void pushup(int k){tr[k]=merge(tr[ls],tr[rs]);}
void build(int k,int l,int r)
{
if (l==r) return (void)(tr[k]=MP(pos[l],pos[l]));
int mid=(l+r)>>1;
build(lson);build(rson);
pushup(k);
}
int query(int k,int l,int r,pii pre)
{
pii t;
if (l==r){t=merge(pre,tr[k]);return (t.fir==-1)?l-1:l;}
int mid=(l+r)>>1;t=merge(pre,tr[ls]);
if (t.fir!=-1) return query(rson,t);
return query(lson,pre);
}
void modify(int k,int l,int r,int x)
{
if (l==r) return (void)(tr[k]=MP(pos[l],pos[l]));
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) modify(lson,x);
else modify(rson,x);
pushup(k);
}
int main()
{
file();
read(n);
int x,y;
rep(i,1,n) read(P[i]),++P[i],pos[P[i]]=i;
rep(i,2,n) read(x),make_edge(x,i);
init();
build(1,1,n);
read(m);
while (m--)
{
read(x);
if (x==1) read(x,y),swap(P[x],P[y]),swap(pos[P[x]],pos[P[y]]),modify(1,1,n,P[x]),modify(1,1,n,P[y]);
else printf("%d\n",query(1,1,n,MP(pos[1],pos[1])));
}
return 0;
}
