洛谷P3317 [SDOI2014]重建 [Matrix-Tree定理]
思路
相信很多人像我一样想直接搞Matrix-Tree定理，而且还过了样例，然后交上去一分没有。
但不管怎样这还是对我们的思路有一定启发的。
用Matrix-Tree定理搞，求出的答案是
\[t=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e
\]
其中\(W_e\)表示我们给\(e\)赋的权值，现在还不知道是啥。
然而，我们要的答案却是这样的：
\[ans=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} w_e \prod_{e\notin E} (1-w_e)
\]
其中\(w_e\)表示边\(e\)存在的概率。
注意到区别了吗？现在就要尝试去除区别。
考虑这样一个式子：
\[\begin{align*}
ans&=t\times \prod_{e} (1-w_e)\\
&=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e \prod_{e} (1-w_e)\\
&=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e(1-w_e) \prod_{e\notin E} (1-w_e)\\
\end{align*}
\]
是不是超棒？
于是有了一个方程：\(W_e(1-w_e)=w_e\)，得到\(W_e=\frac{w_e}{1-w_e}\)，Matrix-Tree定理往上套即可。
还要注意一个问题：\(1-w_e<eps\)时会有除零的情况发生，此时要强行设\(w_e=1-eps\)以避免。
代码
#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define templ template<typename T>
#define sz 60
typedef long long ll;
typedef double db;
mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templ inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
inline void print(register int x)
{
if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
}
inline void chktime()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
#endif
}
#ifdef mod
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
#else
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
#endif
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
const db eps=1e-9;
int n;
db a[sz][sz];
db A[sz][sz];
void add(int x,int y,db w){A[x][x]+=w;A[y][y]+=w;A[x][y]-=w;A[y][x]-=w;}
db calc(int n)
{
db ans=1;
rep(i,1,n)
{
if (!A[i][i])
{
int tmp=-1;
rep(j,i+1,n) if (fabs(A[j][i])>eps) tmp=j;
if (tmp==-1) return 0;
swap(A[i],A[tmp]);
}
db I=1.0/A[i][i];
rep(j,i+1,n) if (A[j][i])
{
db t=I*A[j][i];
rep(k,i,n) A[j][k]-=A[i][k]*t;
}
ans=ans*A[i][i];
}
return ans;
}
int main()
{
file();
read(n);
db ans=1;
rep(i,1,n) rep(j,1,n)
{
read(a[i][j]);
if (a[i][j]>1-eps) a[i][j]=1-eps;
ans*=(1-a[i][j]),a[i][j]/=(1-a[i][j]);
}
ans=sqrt(ans);
rep(i,1,n) rep(j,1,i-1) add(i,j,a[i][j]);
ans*=calc(n-1);
cout<<ans;
return 0;
}
