洛谷P4841 城市规划 [生成函数，NTT]

传送门

题意简述：求$n​$个点的简单无向连通图的数量$\mod \;1004535809​$，$n \leq 130000​$

经典好题呀！这里介绍两种做法：多项式求逆、多项式求对数

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先是多项式求逆的做法。

我们发现直接求连通图的数量并不好求，所以我们用所有图的数量$g_n​$减去不连通的数量，得到连通图的个数$f_n​$。

易得$g_n=2^{n \choose 2}​$

考虑DP，枚举1号点所在的连通块大小，有$f_n=g_n-\sum_{i=1}^{n-1} { {n-1} \choose {i-1} } f_i g_{n-i}$

这个式子不怎么好看，移项一下变成$g_n=\sum_{i=1}^n { {n-1} \choose {i-1} } f_i g_{n-i}$

再化一下，$\frac{g_n}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^n \frac{f_i}{(i-1)!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!}$

注意到右边很像一个卷积，我们记这样一些生成函数：

$$\begin{align*} &A(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_n}{(n-1)!} x^n\\ &B(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{g_n}{(n-1)!} x^n\\ &C(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{g_n}{n!} x^n \end{align*}$$

所以$A=C*B^{-1}​$

$B,C​$均可以$O(n)​$求出，那么写一个多项式求逆就做完了。

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接下来是多项式求对数。

仍然设$f_n$为$n$个点的无向连通图的个数，$g_n$为$n$个点的无向图的数量。

仍然有$g_n=2^{n\choose 2}$。

写出$f,g​$的指数生成函数：

$$\begin{align*} &F(x)=\sum_n \frac{f_n}{n!} x^n\\ &G(x)=\sum_n \frac{g_n}{n!} x^n \end{align*}$$

注意到一个无向图由许多个连通块组成。我们可以枚举组成的数量，得到

$$G(x)=\frac{F^1(x)}{1!}+\frac{F^2(x)}{2!}+\frac{F^3(x)}{3!}...=\sum_n \frac{F^n(x)}{n!}$$

为什么要除以$n!$呢？因为这些连通块是不分顺序的，所以要除以$n!$。

你再观察一下右边，发现这是个麦克劳林级数：

$$\sum_n \frac{x^n}{n!}=e^x$$

所以有

$$\begin{align*} &G(x)=e^{F(x)}\\ &F(x)=\ln G(x) \end{align*}$$

把板子粘上来即可。

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代码（只有多项式求逆的，求对数的懒得写）（之前写的，和上面的定义略有不同）：

#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define sz 606060
    #define mod 1004535809
    typedef long long ll;
    template<typename T>
    inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();
        double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.')
        {
            ch=getchar();
            while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
        }
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>
    inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.txt","r",stdin);
        #endif
    }
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

const ll g=3;
int limit,r[sz];

ll ksm(ll x,ll y)
{
    y%=(mod-1);
    ll ret=1;
    for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;
    return ret;
}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
void NTT_init(int n)
{
    limit=1;int l=-1;
    while (limit<=n+n) limit<<=1,l++;
    rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
    rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
    {
        ll Wn=ksm(g,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
        for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
        {
            ll w=1;
            for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
            {
                ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if (type==1) return;
    ll I=inv(limit);
    rep(i,0,limit-1) (a[i]*=I)%=mod;
}
ll a[sz],c[sz];
ll F[sz],d[sz],e[sz];
void work_inv(int n)
{
    if (n==1) return (void)(F[0]=inv(c[0]));
    int mid;
    work_inv(mid=(n+1)>>1);
    NTT_init(n);
    rep(i,0,mid-1) d[i]=F[i];rep(i,mid,limit-1) d[i]=0;
    rep(i,0,n-1) e[i]=c[i];rep(i,n,limit-1) e[i]=0;
    NTT(d,1);NTT(e,1);
    rep(i,0,limit-1) d[i]=d[i]*(mod+2ll-d[i]*e[i]%mod)%mod;
    NTT(d,-1);
    rep(i,0,n-1) F[i]=d[i];
}
int n;
ll fac[sz];

int main()
{
    file();
    read(n);
    fac[0]=1;
    rep(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    rep(i,0,n) a[i]=ksm(2,1ll*i*(i+1)/2)*inv(fac[i])%mod;
    rep(i,0,n) c[i]=ksm(2,1ll*i*(i-1)/2)*inv(fac[i])%mod;
    work_inv(n+1);
    NTT_init(n+1);
    NTT(a,1);NTT(F,1);
    rep(i,0,limit-1) F[i]=F[i]*a[i]%mod;
    NTT(F,-1);
    cout<<F[n-1]*fac[n-1]%mod;
}