极值的第二第三充分条件证明
极值的第三充分条件
若\(f'(x_0) = f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^n(x_0)\neq0,\)则
-
当n为偶数时\(f(x_0)\)在\(x_0\)处有极值，其中\(f^{(n)}(x_0)>0\)时取得极小值，\(f^{(n)}(x_0)<0\)时取得极大值；
-
当n为奇数时\(f(x_0)\)在\(x_0\)处无极值。
背景知识：
由题目要求可知，其表达式的形式很像泰勒公式，但是在泰勒公式中有两种泰勒公式：
- 第一种是
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac {f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}
\]
上述是拉格朗日余项的泰勒公式
2. 第二种是
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac {f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o{[(x-x_0)^n]}
\]
上述的公式是皮亚诺余项的泰勒公式，二者的差别在于：
- 皮亚诺余项只是给出了高阶无穷小的类型，并没有具体表达式，而拉格朗日余项是展示了高阶无穷小的具体表达式。所以带有拉格朗日余项的泰勒公式是定量的，既包含多项式主体，也包含高阶无穷小的形式，因此带有拉格朗日余项的泰勒公式是整体的。而皮亚诺余项是给高阶无穷小定性的，很多时候不需要考虑高阶无穷小的具体形式，只需要考虑多项式展开的部分，这时含有皮亚诺余项的泰勒公式只关心多项式主体，而忽略高阶无穷小是具体形式，因此可以说是局部的。
- 带皮亚诺余项的泰勒公式可用于求极限、高阶导数、无穷小阶的判定等,而带拉格朗日余项的泰勒公式可用于证明适合某种条件的存在性、不等式的证明、方程根的问题、近似计算等.
我们接下来适用带皮亚诺余项的泰勒公式来证明适合上述的问题：
当n为偶数时\(f(x_0)\)在\(x_0\)处有极值，其中\(f^{(n)}(x_0)>0\)事取得极小值，\(f^{(n)}(x_0)<0\)事取得极大值；
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac {f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o{[(x-x_0)^n]}
\]
由题意可知，\(f'(x_0) = f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^n(x_0)\neq0\)，
因为其余项中均含有\(0\)可被销掉，所以上述的泰勒公式可以写成：
\[f(x) = f(x_0)+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o{[(x-x_0)^n]}
\]
由于\(o{[(x-x_0)^n]}\)可以视为高阶无穷小，所以我们在这里可以将其看成舍去，即可写成：
\[f(x) = f(x_0)+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n..................................1
\]
(1)式可以变为：
\[f(x) - f(x_0)= \frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\]
当n为偶数时，\(\frac{(x-x_0)^n}{n!}>0\),所以\(f(x)-f(x_0)\)的正负取决于\(f^n(x_0)\)的正负
若\(f^n(x_0)>0\)，则会有\(f(x) - f(x_0)>0\),即\(f(x_0)\)是最小值反之即为最大值。
当n为奇数时\(f(x_0)\)在\(x_0\)处无极值。
当n为奇数时，
- 若\(x\in(x-\lambda,x_0)\)
即为\((x-x_0)<0\)时\(\frac{(x-x_0)^n}{n!}<0\\\)
此时若\(f^n(x_0)>0\),则\(f(x) - f(x_0)<0.\\\)
若\(f^n(x_0)<0\),则\(f(x) - f(x_0)>0.\\\) - 若\(x\in(x_0,x-\lambda)\)
即为\((x-x_0)<0\)时\(\frac{(x-x_0)^n}{n!}<0\\\)
此时若\(f^n(x_0)>0\),则\(f(x) - f(x_0)>0.\\\)
若\(f^n(x_0)<0\),则\(f(x) - f(x_0)<0.\\\)
| \(f^n(x_0)>0\) | \(f^n(x_0)<0\) | |
|---|---|---|
| \(x\in(x-\lambda,x_0)\\\frac{(x-x_0)^n}{n!}<0\) | \(f(x) - f(x_0)<0\) | \(f(x) - f(x_0)>0\) |
| \(x\in(x_0,x-\lambda)\\\frac{(x-x_0)^n}{n!}<0\) | \(f(x) - f(x_0)>0\) | \(f(x) - f(x_0)<0\) |
由上图可知，在\(f^n(x_0)>0\)时，其是单调的所以没有极值，同理可知在\(f^n(x_0)<0\)时，其是单调的所以没有极值。
