抽象代数学习记录

数学实在是太菜了,是时候补补抽代知识了😢

群简介

群是集合上赋予的某种二元运算的代数结构(具有封闭性)

定义1:集合S和S上满足结合律的二元运算 · 所形成的代数结构叫做半群,这个半群记作(S,·)

在此基础上如果运算又满足交换律,则(S,·)叫做交换半群


定义2:设S是半群,元素e∈S叫做半群S的幺元素,即对任意x∈S,xe=ex=x(唯一性易证) 我们称具有幺元素的半群叫含幺半群


定义3:设S是含幺半群,元素y∈S叫做元素x∈S的逆元素,是指xy=yx=1(唯一性易证)


定义4:半群G如果有幺元素,并且每个元素均可逆,则G叫做群。此外若运算又满足交换律,则G叫做交换群或叫Abel群

设(M,·)是含幺半群,我们记M*表示半群M中可逆元素全体


定理:若(M,·)是含幺半群,则(M*,·)是群

补充:

1)全体n阶可逆复方阵形成乘法群,叫做复数上的n次一般线性群,记为GL(n,C)

2)设A为非空集合,A到自身之上的所有一一对应对于合成运算形成群,叫做集合A上的对称群或全置换群,表示成S(A),其中元素叫做集合A上的置换


定义5:设(G,·)和(G',*)是两个群,映射f:G->G'叫做群G到群G'的同态,是指对a,b∈G,f(a·b)=f(a)*f(b)

若f为单射或满射则称f为单同态或满同态,若f双射则f称为G到G'的同构

放上一道例题:

设n为正整数,Cn={e2Πia/n|0≤a≤n-1},则Cn中n个复数形成乘法群(n次单位根群),作映射f:Cn->(Zn,+), e2Πia/n|-> a的共轭,则f为群同构

由题意:f(e2Πia/n·e2Πib/n)=f(e2Πi(a+b)/n)=(a+b)的共轭=f(e2Πia/n)×f(e2Πib/n)

即f是群同态

易证f是双射,综上可知f为群同构

补充:群G到自身的同态(同构)叫G的自同态(自同构)

子群及陪集分解

定义1:设(G,·)为群,A为G的子集,若(A,·)为群,则称A为G的子群(当A≠G时,A为G的真子群)

特殊的,一元群{1G}及G自身均为G的子群,叫做G的平凡子群


引理1:设G是群,A是G的子群,定义G上的关系为对于g,h∈G,g~h <=> gh-1∈A

则~是G上的等价关系,并且g对此等价关系的等价类是Ag(验证等价的三性质即可)

由引理1可知群G分拆成形如Ag的一些集合,每个等价类Ag叫做G对于子群A的右陪集。如果R={gi|i∈I}是G对于上述等价关系的完全代表元系

有分拆G=Ug∈RAg叫做G对子群A的右陪集分解,其中右陪集个数为|R|表示成[G:A]

[G:A]叫做子群A对群G的指数


定理1(Lagrange):设G是有限群,A为G的子群,则|G|=|A|[G:A](特别的G的每个子群的因子都是G的阶的因子)

基于这个定理我们能得到以下两个结论

1.若群G中的每个元素g(≠e)的阶均为2,则G是Abel群

2.p(素数)阶群G均是Abel群,并且均同构于整数模p的加法群Zp

定理2:设G是有限群,则G中每个元素g的阶均是|G|的因子

定理3:设g,h∈群G

1)若g是n阶元素,则对每个正整数m,gm的阶是n/(m,n)

2)若gh=hg,元素g和h的阶为m和n,并且(m,n)=1,则gh的阶为mn

证明:

1)设gm的阶是N,则gmN=1 =>n|mN =>n/(m,n)|m/(m,n)*N

又(n/(m,n),m/(m,n))=1 =>n/(m,n)|N

考虑到gmn/(m,n)=(gn)m/(m,n)=1=(gm)n/(m,n) =>N|n/(m,n)

综上N=n/(m,n)

2)设gh的阶为N

∵gh=hg =>(gh)nm=(hg)nm=gnmhnm=1

=>N|nm

∵gn的阶是m/(m,n)=m,hm的阶为n/(m,n)=n

∵gn=(gh)n 又(gh)n的阶为N/(N,n)=m =>m|N

同理可得n|N 又(m,n)=1 =>nm|N

综上N=nm


定义2:设A和B是群G的两个子集,如果存在g∈G使得g-1Ag=B,则称A和B共轭

若A是G的子群,易知B也为G的子群,称为A的共轭子群


定义3:设M是群G的子集,则

NG(M)={g∈G|g-1Mg=M}是G的子群,叫做M的正规化子

又令CG(M)={g∈G|g-1ag=a,∀a∈M}也为G的子群叫做M的中心化子

其中a称为G的中心元素

定理4:设p为素数,n≥1,G为pn阶群,则|C(G)|>1,即G有非平凡的中心元素

定理5:对于每个素数p,p2阶群均为Abel群

循环群

定义1:设G是群,S是G的子集,G中包含S的最小子群A叫做由S生成的子群,表示成A=<S>

如果群G自身由子集S生成,即G=<S>,称S是G的一个生成元系,如果G=<S>并且S是有限集合,称G是有限生成群

特别的若S仅含一个元素a,即G=<a>,称G是循环群


定理1:无限循环群同构于整数加法群Z,n阶有限循环群同构于Zn,从而同阶循环群彼此同构


定理2:循环群的子群均是循环群

置换群

定义1:集合∑到自身之上的每个一一对应σ叫做∑上的一个置换

我们以S(Σ)表示∑上的全部置换构成的集合,这是n!元群,n=|∑|,幺元素是恒等置换,我们称S(Σ)叫集合∑上的对称群,他的每个子群均叫集合∑上的置换群

定义2:群G称为单群,如果G≠{1},并且G的正规子群只有{1}和G本身

西罗定理

定理1:设G是有限群,p为素数,r是正整数,pr是|G|的因子。用N(pr)表示G的pr阶子群的个数,则N(pr)≡1mod(p) 特别地,若pr| |G|,则G至少存在一个pr阶子群


定义:设G为prn阶群,其中p为素数,r≥1,p不整除n,则G的每个pr阶子群均叫做G的西罗p-子群

Sylow定理:设G为有限群,则

1)对|G|的每个素因子p,均存在G的西罗p-子群

2)G的西罗p-子群彼此共轭

3)G的西罗p-子群的个数≡1mod(p)

4)设P为G的一个西罗p-子群,则G的西罗p-子群的个数为[G:NG(P)]

环和域

简介

定义1:环是一个集合R和R上的两个二元运算(通常表示为加法+和乘法·)组成的代数结构(R,+,·),并且满足以下三条件:

1)(R,+)是Abel群,这个加法的幺元素表示为0R,叫做环R的零元素

2)(R,·)是半群,这意味着R中的乘法运算满足结合律

3)加法和乘法满足分配律,即对任意a,b,c∈R,有

a(b+c)=ab+ac ,(b+c)a=ba+ca

额外的,若对∀a,b∈R,有ab=ba,则称R为交换环

若半群含幺,则R叫含幺环,元素1R叫做环R的幺元素

定义2:环R中若存在非零元素a,b∈R,使得ab=0则称a为环R的左零因子,类似的若ba=0则称a为右零因子,若同时为左零因子和右零因子,则称a为环R的零因子

定义3:设环R是含幺环,若存在a,c∈R使得ca=1,则称a左可逆,c叫a的左逆,类似定义右可逆和右逆

若a同时左可逆和右可逆,则a是乘法含幺半群(R,·)的可逆元素,具有唯一可逆元a-1,环R中的可逆元素a通常叫做环R中的单位,含幺环R中的全体单位形成乘法群,叫做环R的单位群,表示为U(R)


域:设F是一个交换环,若F中的所有非零元素对乘法都存在逆元,则称F为一个域。如果一个域所包含元素有限则称此域是有限域,否则称为无限域。有限域中所含元素个数称为有限域(R,+,×)的阶

有限域

定义1:有限域又常称为Galois(伽罗瓦)域,并以GF(q)或Fq表示,其中q表示有限域的阶

定义2:设F1,F2是两个域,称F1到F2的一个可逆映射σ为同构映射,即对∀a,b∈F1

满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(a·b)=σ(a)·σ(b)

定理1:同阶的有限域必同构

定理2:有限域F的阶必为某个素数的幂

其每个子域的阶也为相同素数的幂

多项式环

设F是一个域,多项式f(x)=anxn+···+a1x+a0,其中ai∈F,n∈N

对于域F上x的多项式的全体组合的集合记为F[x]。多项式f(x)的次数为deg(f(x))

定理:F[x]对加法和乘法构成交换环,称为多项式交换环


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posted @ 2022-01-18 19:44  hash_hash  阅读(606)  评论(0编辑  收藏  举报