抽象代数学习记录

数学实在是太菜了，是时候补补抽代知识了😢

群

群简介

群是集合上赋予的某种二元运算的代数结构(具有封闭性)

定义1:集合S和S上满足结合律的二元运算 · 所形成的代数结构叫做半群，这个半群记作(S,·)

在此基础上如果运算又满足交换律，则(S,·)叫做交换半群

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定义2:设S是半群，元素e∈S叫做半群S的幺元素，即对任意x∈S，xe=ex=x(唯一性易证) 我们称具有幺元素的半群叫含幺半群

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定义3:设S是含幺半群，元素y∈S叫做元素x∈S的逆元素，是指xy=yx=1(唯一性易证)

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定义4:半群G如果有幺元素，并且每个元素均可逆，则G叫做群。此外若运算又满足交换律，则G叫做交换群或叫Abel群

设(M,·)是含幺半群，我们记M*表示半群M中可逆元素全体

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定理:若(M,·)是含幺半群，则(M*,·)是群

补充:

1)全体n阶可逆复方阵形成乘法群，叫做复数上的n次一般线性群，记为GL(n,C)

2)设A为非空集合，A到自身之上的所有一一对应对于合成运算形成群，叫做集合A上的对称群或全置换群，表示成S(A),其中元素叫做集合A上的置换

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定义5:设(G,·)和(G',*)是两个群，映射f:G->G'叫做群G到群G'的同态，是指对a，b∈G，f(a·b)=f(a)*f(b)

若f为单射或满射则称f为单同态或满同态，若f双射则f称为G到G'的同构

放上一道例题:

设n为正整数，C_n={e^2Πia/n|0≤a≤n-1}，则C_n中n个复数形成乘法群(n次单位根群)，作映射f:C_n->(Z_n,+), e^2Πia/n|-> a的共轭，则f为群同构

由题意:f(e^2Πia/n·e^2Πib/n)=f(e^2Πi(a+b)/n)=(a+b)的共轭=f(e^2Πia/n)×f(e^2Πib/n)

即f是群同态

易证f是双射，综上可知f为群同构

补充:群G到自身的同态(同构)叫G的自同态(自同构)

子群及陪集分解

定义1:设(G,·)为群，A为G的子集，若(A,·)为群，则称A为G的子群(当A≠G时，A为G的真子群)

特殊的，一元群{1_G}及G自身均为G的子群，叫做G的平凡子群

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引理1:设G是群，A是G的子群，定义G上的关系为对于g，h∈G，g~h <=> gh^-1∈A

则~是G上的等价关系，并且g对此等价关系的等价类是Ag(验证等价的三性质即可)

由引理1可知群G分拆成形如Ag的一些集合，每个等价类Ag叫做G对于子群A的右陪集。如果R={g_i|i∈I}是G对于上述等价关系的完全代表元系

有分拆G=U_g∈RAg叫做G对子群A的右陪集分解，其中右陪集个数为|R|表示成[G:A]

[G:A]叫做子群A对群G的指数

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定理1(Lagrange):设G是有限群，A为G的子群，则|G|=|A|[G:A](特别的G的每个子群的因子都是G的阶的因子)

基于这个定理我们能得到以下两个结论

1.若群G中的每个元素g(≠e)的阶均为2，则G是Abel群

2.p(素数)阶群G均是Abel群，并且均同构于整数模p的加法群Z_p

定理2:设G是有限群，则G中每个元素g的阶均是|G|的因子

定理3:设g，h∈群G

1)若g是n阶元素，则对每个正整数m，g^m的阶是n/(m,n)

2)若gh=hg，元素g和h的阶为m和n，并且(m,n)=1，则gh的阶为mn

证明:

1)设g^m的阶是N，则g^mN=1 =>n|mN =>n/(m,n)|m/(m,n)*N

又(n/(m,n),m/(m,n))=1 =>n/(m,n)|N

考虑到g^mn/(m,n)=(gⁿ)^m/(m,n)=1=(g^m)^n/(m,n) =>N|n/(m,n)

综上N=n/(m,n)

2)设gh的阶为N

∵gh=hg =>(gh)^nm=(hg)^nm=g^nmh^nm=1

=>N|nm

∵gⁿ的阶是m/(m,n)=m,h^m的阶为n/(m,n)=n

∵gⁿ=(gh)ⁿ 又(gh)ⁿ的阶为N/(N,n)=m =>m|N

同理可得n|N 又(m,n)=1 =>nm|N

综上N=nm

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定义2:设A和B是群G的两个子集，如果存在g∈G使得g^-1Ag=B，则称A和B共轭

若A是G的子群，易知B也为G的子群，称为A的共轭子群

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定义3:设M是群G的子集，则

N_G(M)={g∈G|g^-1Mg=M}是G的子群，叫做M的正规化子

又令C_G(M)={g∈G|g^-1ag=a,∀a∈M}也为G的子群叫做M的中心化子

其中a称为G的中心元素

定理4:设p为素数，n≥1，G为pⁿ阶群，则|C(G)|>1，即G有非平凡的中心元素

定理5:对于每个素数p，p²阶群均为Abel群

循环群

定义1:设G是群，S是G的子集，G中包含S的最小子群A叫做由S生成的子群，表示成A=<S>

如果群G自身由子集S生成，即G=<S>，称S是G的一个生成元系，如果G=<S>并且S是有限集合，称G是有限生成群

特别的若S仅含一个元素a，即G=<a>，称G是循环群

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定理1:无限循环群同构于整数加法群Z，n阶有限循环群同构于Z_n，从而同阶循环群彼此同构

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定理2:循环群的子群均是循环群

置换群

定义1:集合∑到自身之上的每个一一对应σ叫做∑上的一个置换

我们以S(Σ)表示∑上的全部置换构成的集合，这是n!元群，n=|∑|，幺元素是恒等置换，我们称S(Σ)叫集合∑上的对称群，他的每个子群均叫集合∑上的置换群

定义2:群G称为单群，如果G≠{1}，并且G的正规子群只有{1}和G本身

西罗定理

定理1:设G是有限群，p为素数，r是正整数，p^r是|G|的因子。用N(p^r)表示G的p^r阶子群的个数，则N(p^r)≡1mod(p) 特别地，若p^r| |G|，则G至少存在一个p^r阶子群

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定义:设G为p^rn阶群，其中p为素数，r≥1，p不整除n，则G的每个p^r阶子群均叫做G的西罗p-子群

Sylow定理:设G为有限群，则

1)对|G|的每个素因子p，均存在G的西罗p-子群

2)G的西罗p-子群彼此共轭

3)G的西罗p-子群的个数≡1mod(p)

4)设P为G的一个西罗p-子群，则G的西罗p-子群的个数为[G:N_G(P)]

环和域

简介

定义1:环是一个集合R和R上的两个二元运算(通常表示为加法+和乘法·)组成的代数结构(R,+,·)，并且满足以下三条件:

1)(R,+)是Abel群，这个加法的幺元素表示为0_R，叫做环R的零元素

2)(R,·)是半群，这意味着R中的乘法运算满足结合律

3)加法和乘法满足分配律，即对任意a，b，c∈R，有

a(b+c)=ab+ac ，(b+c)a=ba+ca

额外的，若对∀a，b∈R，有ab=ba，则称R为交换环

若半群含幺，则R叫含幺环，元素1_R叫做环R的幺元素

定义2:环R中若存在非零元素a，b∈R，使得ab=0则称a为环R的左零因子，类似的若ba=0则称a为右零因子，若同时为左零因子和右零因子，则称a为环R的零因子

定义3:设环R是含幺环，若存在a，c∈R使得ca=1，则称a左可逆，c叫a的左逆，类似定义右可逆和右逆

若a同时左可逆和右可逆，则a是乘法含幺半群(R,·)的可逆元素，具有唯一可逆元a^-1，环R中的可逆元素a通常叫做环R中的单位，含幺环R中的全体单位形成乘法群，叫做环R的单位群，表示为U(R)

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域:设F是一个交换环，若F中的所有非零元素对乘法都存在逆元，则称F为一个域。如果一个域所包含元素有限则称此域是有限域，否则称为无限域。有限域中所含元素个数称为有限域(R,+,×)的阶

有限域

定义1:有限域又常称为Galois(伽罗瓦)域，并以GF(q)或F_q表示，其中q表示有限域的阶

定义2:设F₁，F₂是两个域，称F₁到F₂的一个可逆映射σ为同构映射，即对∀a，b∈F₁，

满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(a·b)=σ(a)·σ(b)

定理1:同阶的有限域必同构

定理2:有限域F的阶必为某个素数的幂

其每个子域的阶也为相同素数的幂

多项式环

设F是一个域，多项式f(x)=a_nxⁿ+···+a₁x+a₀，其中a_i∈F，n∈N

对于域F上x的多项式的全体组合的集合记为F[x]。多项式f(x)的次数为deg(f(x))

定理:F[x]对加法和乘法构成交换环，称为多项式交换环

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