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【转】图的 最小生成树算法 原理简介:Prim’s algorithm

 

转,原文:https://blog.csdn.net/qq_31534103/article/details/88809762

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Graph

Minimum Spanning Tree(最小生成树))

定义:For an undirected graph G,is a tree formed from graph edges that:
① connects all the vertices of G ② at lowest total cost.

存在性:MST exists iff G is connected.

graph GMST
在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

生成算法

 Prim’s algorithm( 普林演算法 )Kruskal’s algorithm(克鲁斯卡尔算法)
定义 首先以某一節點當作出發點,加入到树 T 内。
LOOP:在与树 T 邻接的树外(尚未被選取的)节点 E 中,选择到树 T 的边权重最小的节点 e, 將 e 和相应边加入 T。
UNTIL:增加了n - 1條邊為止。(假設有 n 個節點)
首先边的权重从小到大排序。
依次判断是否需要该边。要求加入该边后不会形成回路。
特性 贪心算法(局部最优)
不断扩张某一棵树
贪心算法(资源排序)
最开始所有点都看成是树,其过程就是不断连接森林里面的各棵树
•maintains a forest—a collection of trees. 
•Initially, there are single-node trees. Adding an edge merges two trees into one. 
•When the algorithm terminates, there is only one tree.

1. Prim’s algorithm( 普林演算法 )

实现

下表中,known 标志树内外节点 ,dv 标记该节点到树 T 的最小边权重,pv 记录其父节点。

  1. 将节点 v1 作为 root 加入到树 T 中,更新邻接的树外点到树 T 的距离,即 v2、3、4 到 v1 的边权重。

    选择邻接边中权重最小的节点 v4 将其加入到 T 中,即:将 known(v4)= T,pv(v4)= v1。

在这里插入图片描述

  1. 重复:将 v2 加入到 T 中,更新邻接于 v4 的树外点到树 T 的距离,例如 v3 与 v2 的距离比 v1 更近,所以dv(v3)= 2,pv(v3)= v2。

    选择邻接边中权重最小的节点 v2、3 将其加入到 T 中。

在这里插入图片描述

  1. 重复:将 v2、3 加入到 T 中,更新邻接于 v2、3 的树外点到树 T 的距离。

    选择邻接边中权重最小的节点 v7 将其加入到 T 中。

在这里插入图片描述

  1. 重复:将 v7 加入到 T 中,更新邻接于 v7 的树外点到树 T 的距离。

    选择邻接边中权重最小的节点 v6 加入到 T 中。

在这里插入图片描述

  1. 重复 UNTIL:增加了n - 1條邊為止。(假設有 n 個節點)

在这里插入图片描述

与 Dijkstra 的差异

唯一差异:如何更新 dv

假设 w 为已知点,v 为未知点

  • Dijkstra: dv=min{dv, dw+c(w,v)} 其中 dv、w的含义是由源点到 v、w的路径和
  • Prim: dv=min{dv, c(w,v)} 其中 dv、w的含义是到树中父节点的距离,如果 dv=c(w,v) 成立,则v的父节点修改为w

2.Kruskal’s algorithm(克鲁斯卡尔算法)

实现

先将边按 权重 从小到大排序,然后依次取边,注意如果加入该边会形成回路时,要reject掉。

在这里插入图片描述

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