08 2017 档案
摘要：题意 求 $$ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^nd(ij) \\ d(x)=\sum _{e|x}e $$ $n\le 10^9$ 。 分析 没有推出来。这题有几个要点要学习。 第一，推式子要有方向，不能看到什么就动一动，最后搞出来一个算不了的东西。 第二，对于同一个多重和式的不
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摘要：题意 给到 $a,b$ ，求 $$ \sum _{i=a}^b\sum _x\sum _y[x\le y][\text{lcm}(x,y)=i] $$ 即最小公倍数在 $[a,b]$ 中的有序数对个数。$a,b\le 10^{11}$ 。 分析 转化成求 $\sum _{x}\sum _{y}[\t
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摘要：题意 定义 $n$ 的平均最小公倍数： $$ A(n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\text{lcm}(n,i) $$ 求 $$ \sum _{i=L}^RA(i) $$ $n\le 10^9$ 。 分析 有趣的题，学到了一些东西。 我最开始不知道怎么都枚举gcd的时候是整除枚
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摘要：题意 第一问，输出1 。 第二问，求 $$ \sum _{i=1}^n\varphi(i^2) $$ $n\le 10^9$ 。 分析 $\varphi$ 函数是非完全积性的，所以： $$ \sum _{i=1}^n\varphi(i^2)=\sum _{i=1}^ni\varphi(i) $$ 这
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摘要：题意 求 $$ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sigma (ij) $$ 其中 $\sigma(x)$ 为约数个数函数。 $n\le 10^9$ 。 分析 拆开咯 $$ \begin{aligned} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sigma (ij)
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摘要：题意 有 $n$ 个变量，有两种限制，分别有 $m_1,m_2$ 种。限制如下： $a_x+1=a_y$ $a_x\le a_y$ 求 $\{x_i\}$ 集合的大小。$n\le 600,m_1+m_2\le 10^5$ 。 分析 求集合大小其实就是最多有多少个变量不相同。看到这种变量的加减约束问题
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摘要：题意 $n$ 个元素可以构成 $2^n$ 种集合（包括空集），求在其中选出大于等于一个集合，使得这些集合的交的大小为 $k$ 。 $0\le k\le n\le 10^6$ 。 分析 选出 $k$ 个作为交集，那么问题转化成在 $n k$ 个元素组成的集合中选出大于等于一个集合，使得它们的交集为空。
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摘要：题意 称只含有 6 和 8 的数字为幸运数字。称幸运数字的倍数为类幸运数字。求 $[l,r]$ 中有多少个类幸运数字。$1\le l,r\le 10^{10}$ 。 分析 幸运数字最多有 $2^{11} 2$ 个，先全部找出来，有倍数关系的留下最小的那个。容斥显然，关键是怎么写。 暴力dfs最小公倍
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摘要：题意 给出两个长度为 $n$ 的数列 $a,b$ ，$2n$ 个数都互不相同，求有多少种对应方式使得 $a_i b_i$ 的个数比 $a_ib_i$ 的个数恰好多 $m$ 。这是一个序列上的计数问题，一种经典的思路是分阶段考虑。 首先给 $a$ 排序，预处理出 $b$ 中有多少个数比 $a_i$ 小
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摘要：题意 有一个 $n\times m$ 的矩阵，其中每个数都是 $[1,n\times m]$ 中的一个，不会重复。有一些地方的值比周围的8个位置都小（如果有的话）。给出这些位置，求这样的矩阵有多少个。 $n\le 4,m\le 7$ 。 分析 一个很关键的信息是局部极小值的点最多只有8个，以及每个数
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摘要：题意 在一个 $n$ 维空间中，求一个点可以用一个 $n$ 维向量 $(x_1,x_2,\dots x_n)$ 表示。现在要选出 $c$ 个点，有三个限制： 设 $x_i$ 表示任意一个点的第 $i$ 个分量，那么 $x_i\in [1,m_i],x_i\in Z$ 。 选出的所有点在同一条直线上。
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摘要：题意 求 $$ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\varphi (ij) $$ 其中 $\varphi$ 为欧拉函数。$n\le 10^5,m\le 10^9$ 。 分析 简单的题目，感觉非常妙啊！这题学到了很多东西。 观察到 $n$ 比较小，可以枚举 $n$ ，转化为求 $S(
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摘要：题意 $T\le 10^4$ 次询问 $n,m$ ，求 $$ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)\text { is prime}] $$ 分析 这题还是很有趣的。设 $n\le m$ 。 $$ \begin{aligned} \sum _{i=1}^n\sum_
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摘要：题意 $T\le 5\times 10^4$ 次询问，每次询问 $a,b,c,d,k\le 5\times 10^4$，求 $$ \sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k] $$ 分析 重新学了一次（可能跟第一次学没什么区别）莫比乌斯反演相关，这题还是很简单的。问题
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摘要：题意 给出 $n$ 和长度为 $n$ 的数列 $d$ 表示每个点的度数，问有多少颗满足要求的树。 分析 这题是prufer编码的应用。 prufer编码是对一个带标号无根树的刻画，生成方式是：对于一棵树，每次找到度数为1的编号最小的节点，把与这个节点相邻的那个节点加在生成数列后面，删除这个节点；进行
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摘要：题意 给出一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，$q$ 次询问 $(x,y)$ 的所有路径中最长边最小是多少。 $n,m,q\le 3\times 10^4$ 分析 题意明显是最小生成树上两点之间最大边权。有三种做法。当模板题玩一玩就好了。 第一种是简单的最小生成树上倍增，复杂度为 $O(n\l
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摘要：题意 给出一个图，边有边权，点有点权，每次询问一个点 $x$ 只走边权小于等于 $d$ 的边能到达的点中点权第 $k$ 大。 强制在线，$n\le 10^5,m,q\le 5\times 10^5$ 分析 如果可以离线的话，我们可以用一个并查集（路径压缩）维护连通性，在并查集的每个点上存一个权值线段
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摘要："题目" 一个方格图，有一些点是障碍，求有用一些回路精确覆盖非障碍点的方案数。$n,m\le 11$ 分析 开始学插头dp，这是第一题。 这其实可以说是一个轮廓线dp，因为可以用多个回路，所以无须保存其他的连通性状态，只要记录从上到下，从左到右dp到每一个点的时候每一种插头情况的方案数，一个个转移即
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摘要：题目 $n$次操作，每次加入一个以$(x,y)$为圆心，经过原点的圆，或者询问一个点是否在所有圆中（包括圆周）。$n\le 5\times 10^5$ 分析 这题有两种做法，可以直接推或者运用反演。 方法一 设一个圆的圆心为$(a,b)$， 一个询问点为$(x,y)$，那么$(x,y)$在圆内或圆周
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