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题目

给一个\(n\)个点\(m\)条边的无向连通图，\(Q\)次往图中加边，每次加边后问图中的桥有多少个。（加边后边留着）。

\(n\le 10^5,m\le 2\times 10^5,Q\le 10^5\)。

分析

容易发现一条边为桥当且仅当它不在任意一个环中。

于是我们对最开始的图先得到它的生成树，然后把剩下的边加进去，加边的时候把树上两点路径上的点都标记为不是桥。每次询问的时候一样操作。这个东西可以方便地用树链剖分和线段树维护。

时间复杂度为\(O((m-n+Q)\log ^2n)\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define M(x) memset(x,0,sizeof x)
using namespace std;
int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=1e5+1;
const int maxj=17;
const int maxm=2e5+1;
typedef pair<int,int> Pair;
Pair bian[maxm];
int n,m;
namespace uns {
	int f[maxn];
	void clear(int n) {for (int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;}
	int find(int x) {return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
}
namespace sgt {
	int t[maxn<<2];
	bool clr[maxn<<2];
	void init(int x,int l,int r) {
		clr[x]=false;
		if (l==r) {
			t[x]=(l!=1);
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		init(x<<1,l,mid),init(x<<1|1,mid+1,r);
		t[x]=t[x<<1]+t[x<<1|1];
	}
	void pushdown(int x) {
		if (!clr[x]) return;
		t[x<<1]=t[x<<1|1]=0;
		clr[x<<1]=clr[x<<1|1]=true;
		clr[x]=false;
	}
	void clear(int x,int L,int R,int l,int r) {
		if (L==l && R==r) {
			t[x]=0;
			clr[x]=true;
			return;
		}
		pushdown(x);
		int mid=(L+R)>>1;
		if (r<=mid) clear(x<<1,L,mid,l,r); else 
		if (l>mid) clear(x<<1|1,mid+1,R,l,r); else 
		clear(x<<1,L,mid,l,mid),clear(x<<1|1,mid+1,R,mid+1,r);
		t[x]=t[x<<1]+t[x<<1|1];
	}
	void clear(int l,int r) {
		clear(1,1,n,l,r);
	}
}
namespace tree {
	vector<int> g[maxn];
	int f[maxn][maxj],dep[maxn],size[maxn],top[maxn],son[maxn];
	int first[maxn],second[maxn],dfx;
	void add(int x,int y) {g[x].push_back(y);}
	void clear(int n) {
		M(f),M(dep),M(size),M(top),M(son),M(first),M(second),dfx=0;
		for (int i=1;i<=n;++i) g[i].clear();
	}
	int dfs(int x,int fa) {
		f[x][0]=fa;
		dep[x]=dep[fa]+1;
		int &sz=size[x]=1,&sn=son[x]=0;
		for (int v:g[x]) if (v!=fa) {
			sz+=dfs(v,x);
			if (size[v]>size[sn]) sn=v;
		}
	}
	void Top(int x,int fa,int tp) {
		first[x]=++dfx;
		top[x]=tp;
		if (son[x]) Top(son[x],x,tp);
		for (int v:g[x]) if (v!=son[x] && v!=fa) Top(v,x,v);
		second[x]=dfx;
	}
	void run() {
		for (int j=1;j<maxj;++j) for (int i=1;i<=n;++i) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	}
	int lca(int x,int y) {
		if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
		for (int j=maxj-1;j>=0;--j) if (dep[f[x][j]]>=dep[y]) x=f[x][j];
		if (x==y) return x;
		for (int j=maxj-1;j>=0;--j) if (f[x][j]!=f[y][j]) x=f[x][j],y=f[y][j];
		return f[x][0];
	}
	void work(int x,int l) {
		for (int y=top[x];dep[y]>dep[l];y=top[x=f[y][0]]) {
			sgt::clear(first[y],first[x]);
		}
		if (dep[x]>dep[l]) sgt::clear(first[l]+1,first[x]);
	}
	int deal(int x,int y) {
		if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
		int l=lca(x,y);
		x==l?work(y,x):work(x,l),work(y,l);
		return sgt::t[1];
	}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
#endif
	int cases=0;
	while (true) {
		n=read(),m=read();
		if (!n && !m) break;
		printf("Case %d:\n",++cases);
		int wat=0;
		uns::clear(n);
		tree::clear(n);
		for (int i=1;i<=m;++i) {
			int x=read(),y=read();
			int fx=uns::find(x),fy=uns::find(y);
			if (fx!=fy) tree::add(x,y),tree::add(y,x),uns::f[fx]=fy; else bian[++wat]=make_pair(x,y);
		}
		tree::dfs(1,1);
		tree::Top(1,1,1);
		tree::run();
		sgt::init(1,1,n);
		for (int i=1;i<=wat;++i) {
			int x=bian[i].first,y=bian[i].second;
			tree::deal(x,y);
		}
		int q=read();
		while (q--) {
			int x=read(),y=read();
			int ans=tree::deal(x,y);
			printf("%d\n",ans);
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}