bzoj1009-GT考试

给出一个长度为\(m(m\le 20)\)的字符串\(s\)，问有多少个长度为\(n\)的字符串满足其中不包含子串\(s\)。\(0\le char\le 9,\ n\le 10^9\)。

思路

一开始想的是容斥。

如果我们一位一位地看这个问题，它会变得简单很多。每次我们往已有的字符串的后面添加一个字符，然后看看匹配情况如何，去掉匹配到的那些。这个dp有点像什么选出一些数使得它们的和不能被某个数整除。

f[i][j]表示所有长度为\(i\)的字符串的后缀与\(s\)的前\(i\)位匹配的个数。这样我们就可以预处理一个转移矩阵a[i][j]，表示从匹配了\(i\)个的位置加一个字符\(j\)会匹配到哪里。这个转移矩阵可以用kmp处理出来。

注意到这个转移矩阵每次都是相同的，所以这是一个常系数线性递推，可以用矩阵乘法优化。

这题主要是要想到一位一位处理这个问题，进行转移。kmp只是一个辅助的工具，其实这里的\(m\)很小，不必要使用kmp，但是它好写呀！

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=25;
int n,m,q,nxt[maxm],aux[maxm][maxm],t[maxm];
char s[maxm];
struct Mat {
	int a[maxm][maxm];
	inline void clear() {memset(a,0,sizeof a);}
	Mat () {clear();}
	inline int* operator [] (const int x) {return a[x];}
	inline void operator = (const Mat &b) {
		for (int i=0;i<m;++i) for (int j=0;j<m;++j) a[i][j]=b.a[i][j];
	}		
	inline void eye() {for (int i=0;i<m;++i) a[i][i]=1;}
} a,b;
Mat operator * (Mat a,Mat b) {
	Mat ret;
	for (int k=0;k<m;++k) for (int i=0;i<m;++i) for (int j=0;j<m;++j) (ret[i][j]+=a[i][k]*b[k][j])%=q;
	return ret;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&q,s+1);
	for (int i=1;i<=m;++i) t[i]=s[i]-'0';
	for (int j=nxt[1]=0,i=2;i<=m;++i) {
		for (;j && s[j+1]!=s[i];j=nxt[j]);
		nxt[i]=(j+=(s[j+1]==s[i]));
	}
	for (int i=0;i<m;++i) for (int j=0;j<10;++j) {
		int k=i;
		for (;k && t[k+1]!=j;k=nxt[k]);
		k+=(t[k+1]==j);
		if (k<m) ++a[i][k];
	}
	b.eye();
	for (;n;n>>=1,a=a*a) if (n&1) b=b*a;
	int ans=0;
	for (int i=0;i<m;++i) (ans+=b[0][i])%=q;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}