ICPCCamp 2017 I Coprime Queries

给出一个长度为\(n\)的正整数序列\(a\)，\(m\)次询问\(l,r,x\)，问\(max\{i|i\in[l,r],gcd(a_i,x)=1\}\)。

\(n,m,a_i\le 10^5\)。

分析

这个题很妙啊。

二分答案，问题变成判断在一个区间\([l,r]\)中是否存在\(gcd(a_i,x)=1\)，变成判断\([l,r]\)中有多少个\(gcd(a_i,x)\ne 1\)，我们要计算的就是：

\[\begin{aligned} ret&=\sum _{i=L}^R[gcd(a_i,x)\ne 1] \\ &=\left[\sum _{i=L}^R\sum _{d|x,d|a_i}\mu (d)\right]=0 \\ \end{aligned} \]

这个怎么算呢？我们注意到，如果\(d\)含有平方因子，那么\(\mu (d)\)必定是0，不需要去计算，所以我们只需要统计无平方因子数。可以发现，对于\(10^5\)以内的数，它的无平方因子非常少，最多为64个（\(2*3*5*7*11*13*17>10^5\)），所以直接枚举就好了。对于\([1,10^5]\)内的所有无平方因子数，我们记录含有它的每个\(a_i\)的下标\(i\)，每次对于询问的\(x\)在区间内二分计算即可。

复杂度约为\(O(64nlog^2n)\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long giant;
int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=1e5+1;
int a[maxn],pm[maxn],ps=0,mu[maxn],from[maxn];
int sf[maxn],id[maxn],fs=0;
bool np[maxn];
vector<int> vec[maxn],my[maxn];
int many(int l,int r,int d) {
	++r;
	int fx=lower_bound(vec[d].begin(),vec[d].end(),l)-vec[d].begin();
	int fy=lower_bound(vec[d].begin(),vec[d].end(),r)-vec[d].begin();
	return fy-fx;
}
bool ok(int l,int r,int x) {
	int ret=0;
	for (int d:my[x]) {
		int gs=many(l,r,d);
		ret+=mu[d]*gs;
	}
	return ret;
} 
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
#endif
	int n=read(),q=read();
	mu[1]=1;
	for (int i=2;i<maxn;++i) {
		if (!np[i]) pm[++ps]=i,mu[i]=-1,from[i]=1;
		for (int j=1;j<=ps && (giant)pm[j]*i<maxn;++j) {
			int tmp=pm[j]*i;
			from[tmp]=i;
			np[tmp]=true;
			if (i%pm[j]==0) {
				mu[tmp]=0;
				break;
			}
			mu[tmp]=-mu[i];
		}
	}
	for (int i=1;i<maxn;++i) if (mu[i]) sf[++fs]=i,id[i]=fs;
	for (int i=1;i<maxn;++i) {
		for (int j=1;(giant)j*j<=i;++j) if (i%j==0) {
			if (mu[j]) my[i].push_back(j);
			if ((giant)j*j!=i && mu[i/j]) my[i].push_back(i/j);
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) {
		int x=a[i]=read();
		for (int d:my[x]) vec[d].push_back(i);
	}
	while (q--) {
		int l=read(),r=read(),x=read(),mid,ans=-1;
		while (l<=r) {
			int mid=l+r>>1;
			if (ok(mid,r,x)) l=mid+1,ans=mid; else r=mid-1;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}