poj2226-Muddy Fields

题目

给到一个矩阵，有些格子上是草，有些是水。需要用宽度为1，长度任意的若干块木板覆盖所有的水，并不能覆盖草，木板可以交叉，但只能横竖放置，问最少要多少块板。

分析

经典的矩阵二分图构图和最小点覆盖。
无非就是两种方向，横向和竖向。我们把水块连续的编成同一号，那么对于一个点，它会有一个横向编号和纵向编号。我们要覆盖这个点，只需要覆盖这条边即可。于是问题转化成了一个最小点覆盖问题，即在二分图上选出最少的点，使它们能够覆盖所有的边。这里引出König定理。

König 定理

二分图中，最小点覆盖=最大匹配.

是不是感觉跟"最小割=最大流"有点像......
可参看最大最小定理。

证明

匈牙利算法的流程表明，一个最大匹配满足从任意一个未匹配点出发，都无法找到一条增广路径。假设最大匹配数为\(M\).
对于右边的所有未匹配点，我们寻找它们的所有交替路（未匹配——匹配交替出现），并把这个交替路上（包括自己）的所有点打上标记，那么最小点覆盖的点集为：左边有标记的点+右边无打标记的点，点集大小为\(M\).
接下来有三个问题：

• 为什么点集大小为\(M\)？
• 为什么这个点集可以覆盖所有边？
• 为什么这个点集是最小的？

下面将按顺序证明。

• 上述点集为中每个点都是一条匹配边的某一个顶点，所以点集大小与匹配边数相等。按照上述画法，若右边一个点没有匹配过，那么它会被打上标记；若左边一个点没有匹配过，那么走不到这个点，否则将是一条新增广路。因此右边无标记点在匹配边上，左边有标记点在匹配边上。又因为不可能出现一条匹配边右边无标记而左边有标记（这种情况下左端点可以通过匹配边走到右端点给它打上标记），所以这种计算方法不会算重复，故每个点可以对应一条匹配边，点集大小为匹配边数\(M\)。
• 不存在一条边，它的左边无标记，右边有标记。一条边可以被覆盖当且仅当左右其中一个端点在点集中。只要证明不存在一条边的左右端点均不在点集中即可，即证明不存在一条边的左端点无标记，右端点有标记。若这条边是匹配边，那么右端点不可能作为上述交替路的起点，所以标记是从左端点来到，故左端点会有标记；若这条边不是匹配边，那么右端点肯定会被选作交替路起点，从而得到标记。所以不存在一条边，它的左边无标记，右边有标记。
• 一个点覆盖必须覆盖所有的匹配边，而匹配边的数量为\(M\)，没有更小的情况。由于一个点不可能连出两条匹配边（不符合匹配的定义），所以要覆盖\(M\)条匹配边，需要至少\(M\)个点。我们已经构造出了这种方案。

综上，最小点覆盖数=最大匹配数。

代码

写的时候WA了几次，主要是没有算好，虽然矩阵的大小是\(50\*50\)，但是建出来的图可能有\(625\*2\)个点（最大矩阵插空排列），所以空间开小了。第二就是匈牙利算法在写的时候出了点错误：下面遍历左边交替路起点的时候不需要判断是否已经匹配，因为可能找到更好的方案，还有\(match[i]\)表示的是右边的\(i\)对左边的点的匹配，所以赋值应是\(match[i]=x\).

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=55;
const int maxc=1e3+10;
bool f[maxc][maxc],alr[maxc];
int match[maxc],row[maxn][maxn],col[maxn][maxn],lid=0,rid=0,n,m,ans=0;
char s[maxn][maxn];
bool dfs(int x) {
	for (int i=1;i<=rid;++i) if (!alr[i] && f[x][i]) {
		alr[i]=true;
		if (!match[i] || dfs(match[i])) {
			match[i]=x;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
int main() {
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s[i]+1);
	for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j) if (s[i][j]=='*') {
		++lid;
		while (j<=m && s[i][j]=='*') row[i][j++]=lid;
		--j;
	}
	for (int j=1;j<=m;++j) for (int i=1;i<=n;++i) if (s[i][j]=='*') {
		++rid;
		while (i<=n && s[i][j]=='*') col[i++][j]=rid;
		--i;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j) if (s[i][j]=='*') f[row[i][j]][col[i][j]]=true;
	for (int i=1;i<=lid;++i) memset(alr,0,sizeof alr),ans+=dfs(i);
	printf("%d\n",ans);
}