hdu4372-Count the Buildings

题目

\(N\)座高楼，高度为\(1-N\)的不同的数，从左向右可以看到\(F\)座，从右向左可以看到\(B\)座，共有多少种可能？询问次数不超过1e5，\(n\le 3000\)。

分析

容易发现，最高的楼一定是看得到的，并且分开左右两边。所以现在我们考虑剩下的\(N-1\)座楼。如果确定了一组楼的高度，那么只要把最高的放最前面，其他的就可以任意排列了。所以我们现在要把\(N-1\)座楼分成\(F+B-2\)组，求出有多少种不同的分组方法（有序的），再乘上\(C\_{F+B-2}^{B-1}\)，即左右怎么分即可。由于最高的放在最前面，其他的可以任意排列，所以这个问题等价于能求出多少不同的环的组合，因为确定了环的起点，这个环可以被唯一地拉成链（不重不漏）。环的组合可以用第一类斯特林数求解。\(O(n^2)\)预处理一下组合数和斯特林数，\(O(1)\)计算即可。只要想到了就很简单了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long giant;
int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=2e3+1;
const giant q=1e9+7;
giant c[maxn][maxn],s[maxn][maxn];
int main() {
	#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("test.in","r",stdin);
	#endif
	c[0][0]=s[0][0]=1;
	for (register int i=1;i<maxn;++i) {
		c[i][0]=1;
		for (register int j=1;j<=i;++j) {
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%q;
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+((i-1)*s[i-1][j])%q)%q;
		}
	}
	int T=read();
	while (T--) {
		int n=read(),f=read(),b=read();
		giant ans=(c[b+f-2][b-1]*s[n-1][b+f-2])%q;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}